,решить и начертить график. заранее благодарна! Исследуйте функцию с производной и постройте график y=x^2-2x-3

ДАНО

Y=(x²-4)/(x²+1)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - непрерывная  Х∈(-∞;+∞).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. x = 0. В числителе - (x² - 4) = (x-2)*(x +2) = 0

x1 = -2, x2 = 2 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = -4. 

4. Поведение на бесконечности.  

\lim_{n \to \infty} \frac{x^2-4}{x^2+1}= \frac{1-0}{1+0}=1limn→∞x2+1x2−4=1+01−0=1

Горизонтальная асимптота - Y =  1.

5. Исследование на чётность.Y(-x) =  Y(x). Функция чётная. 

6. Производная функции.

Y'(x)= \frac{2x}{x^2+1}- \frac{2x*(x^2-4)}{(x^2+1)^2}=0Y′(x)=x2+12x−(x2+1)22x∗(x2−4)=0

7. Локальные экстремумы. 

Максимума - нет, минимум  – Ymin(0)  = -4.

8. Интервалы монотонности. 

Убывает - Х∈(-∞;0]. Возрастает - Х∈[0;+∞)

9. Вторая производная - Y"(x).

Корни производной - точки перегиба:  х1 =-√3/3, х3=√3/3.  (≈0.58) 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-√3/3)∪(√3/3;+∞), 

Вогнутая – «ложка» Х∈(-√3/3;√3/3). 

10. Область значений Е(у) У∈(-4;1) 

11. График в приложении