Так как вектора MA, MB, MC некомпланарны, то вектора AB и AC неколлинеарны, и по ним можно разложить любой вектор, лежащий в плоскости (ABC).
Пусть MK пересекает (ABC) в точке O. Тогда AO = MO - MA лежит в плоскости (ABC), и его можно разложить по AB и AC: AO = a AB + b BC.
Тогда MO = MA + AO = MA + a AB + b BC = MA + a(MB - MA) + b(MC - MB) = (1 - a - b) MA + a MB + b MC
Этот вектор должен быть сонаправлен с вектором MK = x MA + y MB + z MC, где x = 3, y = 2, z = 8, тогда MO = k MK, и необходимо найти k. Приравниваем коэффициенты при одинаковых векторах (здесь пользуемся, что разложение по тройке некомпланарных векторов единственно):
kx = 1 - a - b ky = a kz = b
Складываем все три уравнения: k(x + y + z) = 1
k = 1 / (x + y + z) = 1/13
Так как MO = 1/13 MK, то OK = 12/13 MK, и MO : OK = 1 : 12.
Так как вектора MA, MB, MC некомпланарны, то вектора AB и AC неколлинеарны, и по ним можно разложить любой вектор, лежащий в плоскости (ABC).
Пусть MK пересекает (ABC) в точке O. Тогда AO = MO - MA лежит в плоскости (ABC), и его можно разложить по AB и AC: AO = a AB + b
BC.
Тогда MO = MA + AO = MA + a AB + b BC = MA + a(MB - MA) + b(MC - MB) = (1 - a - b) MA + a MB + b MC
Этот вектор должен быть сонаправлен с вектором MK = x MA + y MB + z MC, где x = 3, y = 2, z = 8, тогда MO = k MK, и необходимо найти k. Приравниваем коэффициенты при одинаковых векторах (здесь пользуемся, что разложение по тройке некомпланарных векторов единственно):
kx = 1 - a - b
ky = a
kz = b
Складываем все три уравнения:
k(x + y + z) = 1
k = 1 / (x + y + z) = 1/13
Так как MO = 1/13 MK, то OK = 12/13 MK, и MO : OK = 1 : 12.
Чиксез яшел киңлекләр, урман, кыр, күлләр илендә, инде мең елдан артык үзенең серле исеме, шөһрәтле тарихы булган Казан шәһәре Идел елгасына Казансу килеп кушылган җирдә урнашкан.
Казан − Татарстанның башкаласы. Ул татарларны бер үзәккә туплап торучы башкала − безнең рухи мәркәзебез. Ул − минем туган шәһәрем дә. Казанның, тарихчылар һәм археологлар ачыклый алган гомере генә дә 1000 елдан артып китә. Ә аңа кадәр ул күпме еллар дәвамында яшәгән, бер Ходай белә.
Казан шәһәренең салынуы турында бик күп халык авыз иҗаты ядкярләре һәм әдәби әсәрләр бар. "Хан кызы Алтынчәч", "Кабан күле", "Алпамша" әкиятләре, "Туйбикә казаны" легендалары − әнә шундыйлардан.
"Шәһри Болгарда халык бай яшәгән. Ләкин Аксак Тимер Шәһри Болгарны җимергән.
...Бер кабиләнең анасы Туйбикә карчык унбишләп кешене иярткән дә җил көймәсе белән Идел буйлап китеп барган. Ул алты потлы казанын да үзеннән калдырмаган, казанның чылбыры да алты пот икән. Шактый баргач, юлчылар яр буена төшкәннәр. Бу урын аларга ошаган. Шунда туктап, яшәп калганнар. Безгә аш-су, бәхет теләп торсын диеп, казанны күмеп куйганнар.
Шушы урында Казан шәһәрен сала башлаганнар, ди. Чылбырлы Казан әле хәзер дә шәһәр астында ята, ди, тик аны табучы гына юк, ди. Казан исеме әнә шулай килеп чыккан, имеш". ("Туйбикә казаны".)
Чынлап та, безнең халкыбыз бик кунакчыл бит, димәк, ул сыйфат безгә борынгы бабаларыбыздан күчкән. Өйгә кунак алып кайту, аңа хөрмәт күрсәтү − бүген дә халкыбызның иң күркәм сыйфатларының берсе.
Казан − тарихи шәһәр. Аның иң биек урынына Кремль диварлары урнашкан. Ә диварлар артында кызыл кирпечтән салынган Сөембикә манарасы һәм ап-ак манарасы; Казаныбызга нур чәчеп торучы Кол Шәриф мәчете бар. Казан Кремле − Бөтендөнья тарихи мирас һәйкәле дип игълан ителде.
Казаныбызга мең яшь булуга карамастан, ул яшәрә генә бара. Чөнки аны көннән-көн матурлыйлар, яңарталар. Башкалабызның иске урамнары, йортлары төзекләңдерелә. Шулай ук яңа урамнар һәм микрорайоннар да калкып чыга, метро төзелә. Казан һаман да иҗат дәрте белән рухланып яши, киләчәккә ачык йөз белән карый.
Казан − безнең республикабызның йөрәге ул, белем үзәге. Монда бик күп атаклы язучылар, галимнәр, рәссамнар, композиторлар яшәгән, укыган, иҗат иткән... Шәһәребездә бик күп уку йортлары, музейлар, театрлар, парклар бар. Казанда төрле халык вәкилләре үзара дус яшиләр һәм эшлиләр.