Получили дифференциальное уравнение первого порядка: y'(x) = 4x³ - 9x² + 4.
Теперь задача Коши будет иметь вид:
y'(x) = 4x³ - 9x² + 4,
y(0) = 0.
Решением этого уравнения будет функция y(x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению и начальному условию. Для решения этого дифференциального уравнения можно использовать методы численного интегрирования, например, метод Эйлера или метод Рунге-Кутты.
Теперь найдем решение задачи Коши пошагово с помощью метода Эйлера. Для этого разобьем отрезок [0, x] на n равных частей длиной h= x/n, где n - количество шагов. Затем численно интегрируем дифференциальное уравнение с использованием начального условия.
Введем новую переменную t, равную номеру шага: t = i * h, где i принимает значения от 0 до n. Тогда наша формула Эйлера будет иметь вид:
y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i)), где f(x(i), y(i)) - текущий приближенный предел, равный значению правой части дифференциального уравнения в точке (x(i), y(i)).
Начинаем с начального условия: y(0) = 0.
При каждом i-том шаге будем вычислять следующее значение y(i+1) с помощью формулы Эйлера:
y(i+1) = y(i) + h * (4x(i)³ - 9x(i)² + 4)
Теперь приступаем к численным вычислениям:
1. Выберем количество шагов n и длину шага h. Например, можно выбрать n=100 и h=x/n.
2. Инициализируем переменные: y = [0] * (n+1) и x = 0.
3. Запускаем цикл от i=0 до n, в котором будем вычислять значения y(i+1) по формуле Эйлера:
y[i+1] = y[i] + h * (4*x³ - 9*x² + 4)
x += h
4. В итоге получим массив y, содержащий значения функции y(x) в каждой точке x(i).
Таким образом, мы сведем интегральное уравнение Вольтерра к задаче Коши для дифференциального уравнения и найдем ее приближенное численное решение с помощью метода Эйлера.
Интегральное уравнение Вольтерра имеет вид:
∫₀ˣ y(t) dt = x⁴ - 3x³ + 4x - 4
Чтобы сделать замену и свести его к задаче Коши, сначала продифференцируем обе части уравнения по переменной x. Получим:
d/dx ∫₀ˣ y(t) dt = d/dx (x⁴ - 3x³ + 4x - 4)
Так как ∫₀ˣ y(t) dt - это функция f(x), то ее производная по x будет:
f'(x) = d/dx (x⁴ - 3x³ + 4x - 4)
Вычислим производную каждого слагаемого по отдельности:
f'(x) = d/dx (x⁴) - d/dx (3x³) + d/dx (4x) - d/dx (4)
f'(x) = 4x³ - 9x² + 4
Получили дифференциальное уравнение первого порядка: y'(x) = 4x³ - 9x² + 4.
Теперь задача Коши будет иметь вид:
y'(x) = 4x³ - 9x² + 4,
y(0) = 0.
Решением этого уравнения будет функция y(x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению и начальному условию. Для решения этого дифференциального уравнения можно использовать методы численного интегрирования, например, метод Эйлера или метод Рунге-Кутты.
Теперь найдем решение задачи Коши пошагово с помощью метода Эйлера. Для этого разобьем отрезок [0, x] на n равных частей длиной h= x/n, где n - количество шагов. Затем численно интегрируем дифференциальное уравнение с использованием начального условия.
Введем новую переменную t, равную номеру шага: t = i * h, где i принимает значения от 0 до n. Тогда наша формула Эйлера будет иметь вид:
y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i)), где f(x(i), y(i)) - текущий приближенный предел, равный значению правой части дифференциального уравнения в точке (x(i), y(i)).
Начинаем с начального условия: y(0) = 0.
При каждом i-том шаге будем вычислять следующее значение y(i+1) с помощью формулы Эйлера:
y(i+1) = y(i) + h * (4x(i)³ - 9x(i)² + 4)
Теперь приступаем к численным вычислениям:
1. Выберем количество шагов n и длину шага h. Например, можно выбрать n=100 и h=x/n.
2. Инициализируем переменные: y = [0] * (n+1) и x = 0.
3. Запускаем цикл от i=0 до n, в котором будем вычислять значения y(i+1) по формуле Эйлера:
y[i+1] = y[i] + h * (4*x³ - 9*x² + 4)
x += h
4. В итоге получим массив y, содержащий значения функции y(x) в каждой точке x(i).
Таким образом, мы сведем интегральное уравнение Вольтерра к задаче Коши для дифференциального уравнения и найдем ее приближенное численное решение с помощью метода Эйлера.