Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решить коши методом вариаций произвольных постоянных: y"-3y'+2y=1/2+e^-x; y(0)=1+2ln2; y'(0)=3ln2

Показать ответ

Ответ:

eshkeree1

08.10.2020 07:32

$y''-3y'+2y=\frac{1}{2+e^{-x}}\\\lambda^2-3\lambda+2=0\\\lambda_1=1\ ;\lambda_2=2\\y=C_1e^x+C_2e^{2x}\\\begin{cases}C_1'(x)e^x+C_2'(x)e^{2x}=0\\C_1'(x)e^x+2C_2'(x)e^{2x}=\frac{1}{2+e^{-x}}\end{cases}\\W= \left[\begin{array}{cc}e^x&e^{2x}\\e^{x}&2e^{2x}\end{array}\right]=e^{3x}\\W_1=\left[\begin{array}{cc}0&e^{2x}\\\frac{1}{2+e^{-x}}&2e^{2x}\end{array}\right]=-\frac{e^{2x}}{2+e^{-x}}\\W_2=\left[\begin{array}{cc}e^x&0\\e^{x}&\frac{1}{2+e^{-x}}\end{array}\right]=\frac{e^x}{2+e^{-x}}$

$\displaystyle C_1'(x)=\frac{W_1}{W}=-\frac{e^{2x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=-\frac{1}{2e^{x}+1}\\C_1(x)=-\int\frac{dx}{2e^{x}+1}=-\int\frac{(2e^{x}-2e^{x}+1)dx}{2e^x+1}=\\-\int(1-\frac{2e^x}{2e^x+1})dx=ln|2e^x+1|-x+C_1\\\\\\\\C_2'(x)=\frac{W_2}{W}=\frac{e^{x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=\frac{1}{2e^{2x}+e^x}}\\C_2(x)=\int\frac{dx}{e^x(2e^x+1)}=\int(\frac{1}{e^{x}}-\frac{2}{2e^{x}+1})dx=\\=-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2\\\\y=(ln|2e^x+1|-x+C_1)e^x+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2)e^{2x}$

$\displaystyle y(0)=1+2ln2\\2+2ln2-3ln3=C_1+C_2\\\\y'=e^x(ln|2e^x+1|-x+C_1)+e^x(\frac{2e^x}{2e^x+1}-1)+\\+2e^{2x}(-e^{-x}+2ln|2e^x+1|-2x+C_2)+\\+e^{2x}(e^{-x}+\frac{4e^x}{2e^x+1}-2)\\\\y'(0)=3ln2\\2+3ln2-5ln3=C_1+2C_2\\\\C_2=ln2-2ln3\\C_1=2+ln2-ln3\\\\y=(ln|2e^x+1|-x+2+ln2-ln3)e^x+\\+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+ln2-2ln3)e^{2x}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

kocheryan86p08jni

22.02.2022 20:13

При каких значениях а значение выражения а×sin3×cos0×tg4 будет всегда отрицательным...

WakaAmigo

30.05.2022 06:40

Картофель на рынке стоит 2400сум, лук 1300сум и морковь 2500сум. Сколько денег потратит Азиз если он купит по 1 килограмму овощей...

ekaterinasolda

09.12.2022 14:46

Пешеход за нарушение правил дорожного движения должен до определенного срока заплатить штраф в размере 200р. За каждый просроченный день сумма штрафа увеличивается на...

Legendary13

07.06.2021 17:28

берылген болшектерды шектеулы жане шектеусыз турнде жаз:А)3/1,В)7/4 С)11/7 Д комектесыныздершы...

anasteishamrrr

09.11.2022 07:13

По словсности: составьте толковый словарь диалекта учащихся. нужно от 15-и слов....

Stopnuyk2017

09.11.2022 07:13

Отрезки ab и cd пересекаются в точке о.луч ок является биссектрисой угла dob.найти угол dok если угол aod=84 градуса?...

illaria2703

01.01.2023 16:00

Два летчика вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. кто из них долетит до места быстрее если из них нужно пролететь вдвое больше , но он летит...

елена1210

02.08.2022 04:29

відміна слів плем я, Олена, Валя, полотнище, кров, дівча, дівчатко, задача, плащ, видовище, кухар, вікно, лікар (I, II, III, IV відміни)...

officialmailofp08mfm

08.01.2023 18:21

Решить пример(-5+4,8)×(-0,5)...

563836

16.01.2023 21:30

трое пятиклассников решили купить компьютерную игру и разделите его стоимость между собой поровну какую сумму необходимо заплатить каждому мальчику если игра стоить...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку