Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. Уравнение с вещественными коэффициентами Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a, b, c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения D = b2 – 4ac, называемого дискриминантом квадратного уравнения, поскольку от его значения зависит количество корней уравнения: при D > 0 корней два, и они вычисляются по формулам: x1 = (–b + √D)/2a, x2 = (–b – √D)/2a, где √ означает квадратный корень при D = 0 корень один: x = –b/2a. при D < 0 вещественных корней нет.
Вместо первой пары формул для нахождения корней можно использовать эквивалентные выражения:
x1 = (–k + √(k2 – ac))/a, x2 = (–k + √(k2 – ac))/a, где k = b/2. Это выражение удобно для практических вычислений при четном значении b, т. е. для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0. Уравнение в комплексной области
На множестве комплексных чисел квадратное уравнение с комплексными (в общем случае) коэффициентами всегда имеет два корня, вычисляемые по приведенной выше паре формул. При D = 0 эти корни совпадают и образуют так называемый кратный корень уравнения.
Теорема Виета Сумма корней приведённого квадратного уравнения вида x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: x1 + x2 = –p, x1 · x2 = q.
В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0): x1 + x2 = –b/a, x1 · x2 = c/a.
2) исходное выражение = sin( 4*(п/4) - 2*(п/3) ) = sin(п - (2/3)*п) =
= sin(п/3) = (V3)/2.
3) x = arccos(-0,3328) + 2*п*n, или x=-arccos(-0,3328) + 2*п*n, n - принимает все целые значения.
x = (п - arccos(0,3328) ) + 2*п*n, или
x = -(п-arccos(0,3328) ) + 2*п*n = arccos(0,3328) - п + 2*п*n.
4) 1 - 2*sin^2(x/2) = cos(x),
sin^2(x/2) = (1-cos(x))/2.
(1-cos(x))/2 = 3/4.
1- cos(x) = 3/2.
cos(x) = 1 - (3/2) = -1/2.
x = arccos(-1/2) + 2*п*n, или
x = -arccos(-1/2) + 2*п*n, n принимает все целые значения,
arccos(-1/2) = п - arccos(1/2) = п - (п/3) = (2/3)*п,
x = (2/3)*п + 2*п*n, или
x = -(2/3)*п + 2*п*n.
5) tg(3x+30) = (V3).
3x+30 = 60 + 180*n,
3x = 30 + 180*n,
x = 10 + 60*n.
(x выражено в градусах, n - пробегает все целые значения).
6) см. прикрепленный рисунок.
Уравнение с вещественными коэффициентами
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a, b, c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения D = b2 – 4ac, называемого дискриминантом квадратного уравнения, поскольку от его значения зависит количество корней уравнения:
при D > 0 корней два, и они вычисляются по формулам:
x1 = (–b + √D)/2a,
x2 = (–b – √D)/2a,
где √ означает квадратный корень
при D = 0 корень один:
x = –b/2a.
при D < 0 вещественных корней нет.
Вместо первой пары формул для нахождения корней можно использовать эквивалентные выражения:
x1 = (–k + √(k2 – ac))/a,
x2 = (–k + √(k2 – ac))/a,
где k = b/2. Это выражение удобно для практических вычислений при четном значении b, т. е. для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0.
Уравнение в комплексной области
На множестве комплексных чисел квадратное уравнение с комплексными (в общем случае) коэффициентами всегда имеет два корня, вычисляемые по приведенной выше паре формул. При D = 0 эти корни совпадают и образуют так называемый кратный корень уравнения.
Теорема Виета
Сумма корней приведённого квадратного уравнения вида x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
x1 + x2 = –p,
x1 · x2 = q.
В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0):
x1 + x2 = –b/a,
x1 · x2 = c/a.