Матричный вид записи: Ax=b, где
A=
2
0
3
4
9
5
, b=
1
Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1,1. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 1, умноженной на -1,-3/2 соответственно:
−2
−1
−
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2,2. Для этого сложим строки 3,4,5 со строкой 2, умноженной на -1,-5/2,-3/2 соответственно:
−4
−9
−3
−11
−18
21
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элемента a3,3. Для этого сложим строки 4,5 со строкой 3, умноженной на -3/4,-3/4 соответственно:
19
45
7
15
Исключим элементы 4-го столбца матрицы ниже элемента a4,4. Для этого сложим строку 5 со строкой 4, умноженной на -5/19:
80
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
38
16
Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:
1 x1
+
0 x2
1 x3
1 x4
x5
=
0 x1
1 x2
2 x4
x4
0 x3
0 x4
1 x5
Базисные переменные x1, x2, x3, x4, x5.
Имеем:
x1=
· x3
· x4
· x5
x2=
x3=
x4=
x5=
Подставив нижние выражения в верхние, получим решение.
13
Решение в векторном виде:
x=
x1
x2
x3
Матричный вид записи: Ax=b, где
A=
2
0
2
2
3
0
2
2
4
9
2
2
0
4
3
3
5
5
2
9
0
3
0
2
3
, b=
3
1
1
3
3
Для решения системы, построим расширенную матрицу:
2
0
2
2
3
3
0
2
2
4
9
1
2
2
0
4
3
1
3
5
5
2
9
3
0
3
0
2
3
3
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1,1. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 1, умноженной на -1,-3/2 соответственно:
2
0
2
2
3
3
0
2
2
4
9
1
0
2
−2
2
0
−2
0
5
2
−1
9
2
−
3
2
0
3
0
2
3
3
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2,2. Для этого сложим строки 3,4,5 со строкой 2, умноженной на -1,-5/2,-3/2 соответственно:
2
0
2
2
3
3
0
2
2
4
9
1
0
0
−4
−2
−9
−3
0
0
−3
−11
−18
−4
0
0
−3
−4
−
21
2
3
2
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элемента a3,3. Для этого сложим строки 4,5 со строкой 3, умноженной на -3/4,-3/4 соответственно:
2
0
2
2
3
3
0
2
2
4
9
1
0
0
−4
−2
−9
−3
0
0
0
−
19
2
−
45
4
−
7
4
0
0
0
−
5
2
−
15
4
15
4
Исключим элементы 4-го столбца матрицы ниже элемента a4,4. Для этого сложим строку 5 со строкой 4, умноженной на -5/19:
2
0
2
2
3
3
0
2
2
4
9
1
0
0
−4
−2
−9
−3
0
0
0
−
19
2
−
45
4
−
7
4
0
0
0
0
−
15
19
80
19
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
1
0
1
1
3
2
3
2
0
1
1
2
9
2
1
2
0
0
1
1
2
9
4
3
4
0
0
0
1
45
38
7
38
0
0
0
0
1
−
16
3
Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:
1 x1
+
0 x2
+
1 x3
+
1 x4
+
3
2
x5
=
3
2
0 x1
+
1 x2
+
1 x3
+
2 x4
+
9
2
x5
=
1
2
0 x1
+
0 x2
+
1 x3
+
1
2
x4
+
9
4
x5
=
3
4
0 x1
+
0 x2
+
0 x3
+
1 x4
+
45
38
x5
=
7
38
0 x1
+
0 x2
+
0 x3
+
0 x4
+
1 x5
=
−
16
3
Базисные переменные x1, x2, x3, x4, x5.
Имеем:
x1=
3
2
−1
· x3
−1
· x4
−
3
2
· x5
x2=
1
2
−1
· x3
−2
· x4
−
9
2
· x5
x3=
3
4
−
1
2
· x4
−
9
4
· x5
x4=
7
38
−
45
38
· x5
x5=
−
16
3
Подставив нижние выражения в верхние, получим решение.
x1=
−
13
2
x2=
2
x3=
19
2
x4=
13
2
x5=
−
16
3
Решение в векторном виде:
x=
x1
x2
x3
x4
x5
=
−
13
2
2
19
2
13
2
−
16
3