Одним из наиболее эффективных численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0.
Заменим его равносильным уравнением x=φ(x).
Выберем начальное приближение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения. Тогда получим некоторое число x1=φ(x0).
Подставляя теперь в правую часть вместо x0 число x1 получим число x2=φ(x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел xn=φ(xn-1)
Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел ξ = lim(xn), то переходя к пределу в равенстве и предполагая функцию φ(x) непрерывной найдем lim(xn) = φ(lim(xn-1)), n → ∞ или ξ=φ(ξ).
Таким образом, предел ξ является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле с любой степенью точности.
Находим первую производную:
dF/dx = 4•x3+4
Решение.
Представим уравнение в форме:
x = x - λ((x4+4*x-3))
Найдем максимальное значение производной от функции f(x) = (x4+4*x-3)
max(4•x3+4) ≈ 8
Значение λ = 1/(8) ≈ 0.125
Таким образом, решаем следующее уравнение:
x-0.125*((x4+4*x-3)) = 0
F(0)=-3; F(1)=2
Поскольку F(0)*F(1)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0;1].
Найдем корни уравнения:
(x4+4·x-3) = 0
ε = 0.001
Используем для этого Метод итераций.
Одним из наиболее эффективных численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0.
Заменим его равносильным уравнением x=φ(x).
Выберем начальное приближение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения. Тогда получим некоторое число x1=φ(x0).
Подставляя теперь в правую часть вместо x0 число x1 получим число x2=φ(x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел xn=φ(xn-1)
Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел ξ = lim(xn), то переходя к пределу в равенстве и предполагая функцию φ(x) непрерывной найдем lim(xn) = φ(lim(xn-1)), n → ∞ или ξ=φ(ξ).
Таким образом, предел ξ является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле с любой степенью точности.
Находим первую производную:
dF/dx = 4•x3+4
Решение.
Представим уравнение в форме:
x = x - λ((x4+4*x-3))
Найдем максимальное значение производной от функции f(x) = (x4+4*x-3)
max(4•x3+4) ≈ 8
Значение λ = 1/(8) ≈ 0.125
Таким образом, решаем следующее уравнение:
x-0.125*((x4+4*x-3)) = 0
F(0)=-3; F(1)=2
Поскольку F(0)*F(1)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0;1].
Остальные расчеты сведем в таблицу.
N x F(x)
1 0 -3
2 0.375 -1.4802
3 0.56 -0.6615
4 0.6427 -0.2585
5 0.675 -0.09225
6 0.6866 -0.03157
7 0.6905 -0.01063
8 0.6918 -0.00356
ответ: x = 0.69183629621011; F(x) = -0.00356
Пошаговое объяснение:
Правильно? ,а то не уверен
x^•4+4x-3=0
x•4+4x-3=0
4x+4x-3=0
8x-3=0
8x=3