Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решить неопределенный интеграл

Решить неопределенный интеграл

Показать ответ

Ответ:

Kate2017Wes

07.02.2021 21:35

$\int\limits \frac{dx}{5 + 4 \sin(x) } \\$

Тригонометрическая замена:

$\sin(x) = \frac{2t}{1 + {t}^{2} } \\ dx = \frac{2dt}{1 + {t}^{2} } \\ t = tg( \frac{x}{2} )$

$\int\limits \frac{2dt}{1 +{t}^{2} } \times \frac{1}{5 + \frac{8t}{1 +{t}^{2} } } = \\ =\int\limits \frac{ 2dt }{1 + {t}^{2} } \times \frac{1 + {t}^{2} }{5 + 5 {t}^{2} + 8t} = \\ =2 \int\limits \frac{dt}{5 + 8t +5 {t}^{2} }$

выделим в знаменателе квадрат суммы/разности:

$5 + 8 t+5 {t}^{2} = \\ = {( \sqrt{5}t) }^{2} +2 \times \sqrt{5} t \times \frac{4}{ \sqrt{5} } + \frac{16}{5} + \frac{9}{5} ) = \\ = {( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } ) }^{2} + {( \frac{ 3 }{ \sqrt{5} } )}^{2} =$

получаем:

$2\int\limits \frac{dt}{ {( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } ) }^{2} + {( \frac{ 3 }{ \sqrt{5} } )}^{2} } = \frac{2}{ \sqrt{5} } \int\limits \frac{ d( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } )}{ {( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } ) }^{2} + {( \frac{ 3 }{ \sqrt{5} } )}^{2} } = \\ = \frac{2}{ \sqrt{5} } \times \frac{ \sqrt{ 5} } {3} arctg( \frac{\sqrt{5}t+\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}) + C= \\ = \frac{ 2 } {3} arctg( \frac{5t+4}{3}) + C=\\=\frac{ 2 } {3} arctg( \frac{5tg(\frac{x}{2})+4}{3}) + C=\\=$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

drovniashinaan

26.05.2023 16:18

Содной грядки сняли 32 кочана капусты а с другой стороны на 7 кочана меньше. сколько капусты сняли с двух грядок...

SashkaFlavki

26.05.2023 16:18

Поезд расстояние 255 км за 3 часа .составте отношение для нахождения скорости поезда....

anonimm852

26.05.2023 16:18

Сколько потреблять ккал в 12 лет, в день?...

kristi091000

26.05.2023 16:18

Сравни понятия религия и цивилизация ( в значении общность ) и на отдельном листочке сделай записи в таблице...

К5О5Т5

26.05.2023 16:18

Эссе на тему мое отношение к изобразительному искууству...

nast60

26.05.2023 16:18

Сочинение на тему экология моего города...

nastyakorova664

26.05.2023 16:18

Решить уравнение 7/12 x - 0.5 = 1,25...

vasx

26.05.2023 16:18

Утренник в школе продолжался 1ч 15мин и закончился в 12 дня.когда начался утренник?...

sanzik2005

26.05.2023 16:18

За 4 кг конфет заплатили 1500 тг .составте отношение для нахождения цены 1 кг конфет....

Regina2203021

26.05.2023 16:18

Сделать краткое условие . мотоциклист проехал расстояние от одного города до другого за 3 часа, двигаясь со скоростью 54 км/ч. сколько времени потребуется мотоцеклисту...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку