Решить неравенство $\sqrt{x+1} \ \textgreater \ \sqrt{1-x^{2}+4x}$ , составив систему неравенств , учитывающих область допустимых значений его выражений.

варианты ответов:

a. нет решения
b. (0; 1\2)
c. [-1\2; 0)
d. [0; $1\frac{1}{2}$ )
e. [0; 1\2)
f. [0; 2)

Показать ответ

Ответ:

pionlime

03.01.2021 07:51

Решение делим на две части:
I. доказываем монотонный прирост и ограниченность
II. находим предел последовательности

Часть I:
монотонность доказываем по индукции:
Проверка: $x_2=\sqrt{3\frac{3}{2}-2}=\sqrt{\frac{5}{2}}\ \textgreater \ \frac{3}{2}=x_1\ \Rightarrow x_2\ \textgreater \ x_1$
Предполагаем справедливость неравенства для любого $k\ \textless \ n+1$
Доказываем для $x_{n+1}$ :
$x_{n+1}=\sqrt{3x_n-2}\ \textgreater \ \sqrt{3x_{n-1}-2}=x_n\ \Rightarrow x_{n+1}\ \textgreater \ x_n$
Монотонный прирост доказан.

Ограниченность сверху:
$x_n\ \textless \ 2\ \Rightarrow 3x_n\ \textless \ 6\ \Rightarrow3x_n-2\ \textless \ 4\ \Rightarrow\sqrt{3x_n-2}\ \textless \ 2\ \Rightarrow x_{n+1}\ \textless \ 2$

Условие выполняется для x_1

, по индукции получаем справедливость для любого x_n

.
( $x_{n+1}:=\sqrt{...}\ \Rightarrow x_{n+1}\geq 0$ , потому можно извлечь корень)
(*) Последовательность монотонна и ограниченна, следовательно сходится к супремуму.

Часть II.
Определим $l:=\sup\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ . Из (*) следует:
$\lim_{n\to\infty}x_n=l$ , но для больших $n\in\mathbb{N}$ выполняется $|x_{n+1}-x_n|\ \textless \ \epsilon$ (Коши), следовательно $\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=l$
Подставялем в рекурсию и получаем:
$\sqrt{3l-2}=l\ \Rightarrow l^2-3l+2=0\ \Rightarrow l_{1,2}\in\{1,2\}$
Из монотонности и $x_1=\frac{3}{2}$ следует $l\neq 1$ .
Получаем: l=2

$\lim_{n\to\infty}x_n=2$

(**) Как я "угадал" верхний предел для доказательства ограниченности в первой части?
- Сначала решил часть II, и выбрал подходящее значение.
Важно помнить: без части I, часть II не имеет сысла!! Потому доказательство нужно предоставлять именно в таком порядке и в полном объёме.

0,0(0 оценок)

Ответ:

marisha0606

17.10.2022 05:51

Задача №1.
Фермер привез на мельницу 1ц 12кг пшеницы, чтобы смолоть ее в муку. Спустя час было смолото 49кг пшеницы. Сколько осталось смолоть?
Было - 1ц 12 кг
Смололи - 49кг
Осталось - ?
Решение:
1) 1ц 12кг = 112кг
2) 112-49=63 (кг) - осталось смолоть.
ответ: Осталось смолоть 63кг пшеницы.

Задача №2.
Торговец для продажи привез на рынок 1ц12кг овощей и фруктов. За день он продал 49кг овощей и фруктов. Сколько осталось продать?
Было - 1ц 12 кг
Продал - 49кг
Осталось - ?
Решение:
1) 1ц 12кг = 112кг
2) 112-49=63 (кг) - осталось продать.
ответ: Осталось продать 63кг овощей и фруктов.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика