найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: 2y'''-7y''=0
Решение -------------------------------------------------------------------------------------------------- Линейным однородным дифференциальным уравнением высшего (3-го) порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y⁽³⁾ + a₁y⁽²⁾ + a₂y' + a₃ = 0 где коэффициенты a₁, a₂, a₃ – заданные действительные числа.
Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения 3 порядка с постоянными коэффициентами является линейная комбинация y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + C₃y₃(x)
–линейно независимых на том же отрезке частных решений этого уравнения y₁(x), y₂(x), y₃(x)
Для их нахождения составляется и решается характеристическое уравнение k³ + a₁k² + a₂k + a₃ = 0 Получаемое заменой в исходном дифференциальном уравнении производных y⁽ⁿ⁾ искомой функции степенями kⁿ , причем сама функция заменяется единицей y⁽⁰⁾ =1. Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение степени n.
Каждому из n корней характеристического уравнения соответствует одно из n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, причем:
– каждому действительному простому корню b соответствует частное решение вида
eᵇˣ -каждому действительному корню k кратности a соответствуют частных решений вида eᵇˣ, xeᵇˣ, x²eᵇˣ, x³eᵇˣ, xᵃ⁻¹eᵇˣ --------------------------------------------------------------------------------------------------
Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k₁₂ = 0 и один простой корень k₃ = 3,5. Частные решение дифференциального уравнения определяются формулами
Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид
Решение
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Линейным однородным дифференциальным уравнением высшего (3-го) порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y⁽³⁾ + a₁y⁽²⁾ + a₂y' + a₃ = 0
где коэффициенты a₁, a₂, a₃ – заданные действительные числа.
Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения 3 порядка с постоянными коэффициентами является линейная комбинация
y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + C₃y₃(x)
–линейно независимых на том же отрезке частных решений этого уравнения y₁(x), y₂(x), y₃(x)
Для их нахождения составляется и решается характеристическое уравнение
k³ + a₁k² + a₂k + a₃ = 0
Получаемое заменой в исходном дифференциальном уравнении производных y⁽ⁿ⁾ искомой функции степенями kⁿ , причем сама функция заменяется единицей y⁽⁰⁾ =1. Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение степени n.
Каждому из n корней характеристического уравнения соответствует одно из n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, причем:
– каждому действительному простому корню b соответствует частное решение вида
eᵇˣ-каждому действительному корню k кратности a соответствуют частных решений вида
eᵇˣ, xeᵇˣ, x²eᵇˣ, x³eᵇˣ, xᵃ⁻¹eᵇˣ
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни:
2k³ - 7k² = 0
k²(2k - 7) = 0
k² = 0 2k - 7 = 0
k₁ = k₂ = 0 k₃ = 3,5
Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k₁₂ = 0 и один простой корень k₃ = 3,5.
Частные решение дифференциального уравнения определяются формулами
Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид
ответ: