определимся с областью допустимых значений (ОДЗ) x+1≥0 х≥-1
1) а(х+1+а)=2✓(х+1) Пусть ✓(х+1)=у, тогда а(у²+а)=2у ау²-2у+а²=0 (**)
1)при а=0 наше исходное уравнение (*) превращается в 2✓(х+1)=0 или х= -1
2) при а≠0 имеем квадратное уравнение ау²-2у+а²=0 D=4-4a³=4(1-a³)= =4(1-a)(a²+a+1)= =4(1-a)(a²+2•a•½+(½)²+¾)= =4(1-a)((a+½)²+¾) при D<0 или а<1 действительных корней нет
при D=0 получаем а=1 уравнение (**) примет вид у²-2у+1=0 (у-1)²=0 или у =1 ✓(х+1)=1 или х=0
при D>0 или а<1 ау²-2у+а²=0 у1,2=(2±2✓(1-а³))/2а= =(1±✓(1-а³))/а
здесь делимое всегда положительно, у должен быть неотрицателен, значит при а<0 обратную замену сделать не получится и при а<0 уравнение не будет иметь корней. при 0<а<1 делаем обратную замену у=✓(х+1)
Решение во вложении. Уравнение с параметром.
а(х+а+1)=2✓(х+1)
определимся с областью допустимых значений (ОДЗ) x+1≥0 х≥-1
1) а(х+1+а)=2✓(х+1)
Пусть ✓(х+1)=у, тогда
а(у²+а)=2у
ау²-2у+а²=0 (**)
1)при а=0
наше исходное уравнение (*) превращается в
2✓(х+1)=0
или х= -1
2) при а≠0
имеем квадратное уравнение
ау²-2у+а²=0
D=4-4a³=4(1-a³)=
=4(1-a)(a²+a+1)=
=4(1-a)(a²+2•a•½+(½)²+¾)=
=4(1-a)((a+½)²+¾)
при D<0 или а<1
действительных корней нет
при D=0
получаем а=1
уравнение (**)
примет вид
у²-2у+1=0
(у-1)²=0
или у =1
✓(х+1)=1 или х=0
при D>0 или а<1
ау²-2у+а²=0
у1,2=(2±2✓(1-а³))/2а=
=(1±✓(1-а³))/а
здесь делимое всегда положительно, у должен быть неотрицателен, значит при а<0 обратную замену сделать не получится и при а<0 уравнение не будет иметь корней.
при 0<а<1
делаем обратную замену
у=✓(х+1)
(1±✓(1-а³))/а=✓(х+1)
х1,2=((1±✓(1-а³))/а)²-1
ответ:
при а=0
решение х= -1
при 1<а<0
решение
х1,2=((1±✓(1-а³))/а)²-1
при а=1
решение х= 0
при а>0 и а<1
решений нет