РЕШИТЬ площини а і β паралельні.у площині а вибрано точки с і d а в площині β - точки с1 і d1 такі що прямі сс1 і dd1 паралельні.Знайдіть відрізки DD1 і С1D1 якщо СD=12 см СС1 = 4 см

Как известно, в правильном треугольнике высота равна
h=a√3/2, а радиус вписанной окружности r = h/3 = а√3/6.
На втором шаге, после отсечения, новый треугольник будет иметь
высоту h(2) = h-2a = a√3/2 -2а√3/6 =  a√3/6 = (a√3/2)/3 = h/3.
Интересно отметить, что новая высота в 3 раза меньше исходной и равна радиусу вписанной окружности в исходный треугольник, а радиус новой вписанной окружности
r(2) = h(2)/3 = (a√3/6)/3 = r/3 - тоже в 3 раза меньше исходного радиуса вписанной окружности.
В дальнейшем, в результате последовательности отсечений, стороны, высоты и
радиусы вписанных окружностей создадут геометрические последовательности со знаменателем прогрессии 1/3.
На n-ом шаге радиус вписанной окружности
r(n) = r/3^(n-1) = (a√3/6)/3^(n-1) = a√3/(2*3^n),
где знак ^ означает возведение в степень. 
Это исправленное решение с учетом моих комментариев от 06.01.17.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Следовательно, основание АС делится на два равных отрезка АН и НС, и угол ВНС является прямым. 
Мы получаем два прямоугольных треугольника, у которых все три стороны равны:
АВ = ВС, т.к. треугольник равнобедренный по условию;
АН = НС, т.к. ВН - медиана;
ВН - общая сторона
По третьему признаку равенства треугольников (если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны) наши треугольники АВН и ВНС равны.

Годится и второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае:
АВ = ВС по условию;
угол А равен углу С, т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны;
угол АВН равен углу СВН, т.к. ВН - биссектриса

Первый признак равенства треугольников тоже подходит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае:
АВ = ВС по условию
АН = НС, т.к. ВН - медиана
угол А равен углу С, т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.