Если 2007 - это показатель степени, то я буду писать 3^2007 и 7^2007 3^4 = 81 = 2*37 + 7 ≡ 7 (mod 37) 7^3 = 343 = 9*37 + 10 ≡ 10 (mod 37) Эта запись означает "сравнима по модулю", то "имеет такой же остаток при делении на 37". 3^2007 = 3^2004*3^3 = (3^4)^501*3^3 ≡ 7^501*27 (mod 37) = (7^3)^167*27 = 10^167*27 7^2007 = (7^3)^669 ≡ 10^669 (mod 37) Дальше 10^3 = 27*37 + 1 ≡ 1 (mod 37) 10^167*27 = (10^3)^55*10^2*27 ≡ 1^55*100*27 (mod 37) = 2700 10^669 = (10^3)^223 ≡ 1^223 (mod 37) = 1 Теперь складываем 2700 + 1 = 2701 = 37*73 ≡ 0 (mod 37) Таким образом получаем, что число 3^2007 + 7^2007 делится на 37.
Левую часть открываем по формулам сокращенного умножения
(sina-sinb)^2+(cosa-cosb)^2= (sina)^2 - 2*sina*sinb + (sinb)^2 + (cosa)^2 - 2*cosa*cosb + (cosb)^2=Групируем первое и четвёртое; третье и шестое = ((sina)^2 + (cosa)^2) + ((sinb)^2 + (cosb)^2) -2*( sina*sinb + cosa*cosb )= Используем основное тригонометрическое свойство = 1+1-2*cos(a-b)=2+ 2*cos(a-b)=2*( 1-cos(a-b))=2*2*(sin((a-b)/2))^2=4* (sin((a-b)/2))^2
Формула, которыми пользовалась:
1)Основное тригонометрическое свойство:
(sinb)^2 + (cosb)^2=1
2) Формулы сложения углов:
sina*sinb + cosa*cosb= cos(a-b)
3)Формула половинного угла:
(1-cosa)/2=(sin(a/2))^2
3^4 = 81 = 2*37 + 7 ≡ 7 (mod 37)
7^3 = 343 = 9*37 + 10 ≡ 10 (mod 37)
Эта запись означает "сравнима по модулю", то "имеет такой же остаток при делении на 37".
3^2007 = 3^2004*3^3 = (3^4)^501*3^3 ≡ 7^501*27 (mod 37) = (7^3)^167*27 = 10^167*27
7^2007 = (7^3)^669 ≡ 10^669 (mod 37)
Дальше
10^3 = 27*37 + 1 ≡ 1 (mod 37)
10^167*27 = (10^3)^55*10^2*27 ≡ 1^55*100*27 (mod 37) = 2700
10^669 = (10^3)^223 ≡ 1^223 (mod 37) = 1
Теперь складываем
2700 + 1 = 2701 = 37*73 ≡ 0 (mod 37)
Таким образом получаем, что число 3^2007 + 7^2007 делится на 37.