Поскольку , то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению . Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: , Значит ; ответ: 7:1
Поскольку
, то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению 
. Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: 
, Значит 
; ответ: 7:1
сократите дроби:
Сократить значит поделить числитель и знаменатель на одно и то число.
а)5/15= (5:5)/(15:5)= 1/3 сократили на 5
14/35= (14:7)/(35:7)= 2/5 сократили на 7
10/60= (10:10)/(60:10)=1/6 сократили
на 10
46/72= (46:2)/(72:2)= 23/36 сократили
На 2
120/180= (120:60)/(180:60)= 2/3 сократили на 60
6/20= (6:2)/(20:2)= 3/10 сократили на 2
б)
75/125= (75:25)/(125:25)= 3/5 сократили на 25
21/39= (21:3)/(39:3)= 7/11 сократили на 3
28/84= (28:28)/(84:28) = 1/3 сократили
На 28
14/210= (14:14)/(210:14)= 1/15 сократили
На 14
18/1935= (18:9)/(1935:9)= 1/215 сократили на 9
117/234= (118:117)/(234:117)= 1/2 сократили на 117
в)
3/12= (3:3)/(12:3)= 1/4 сократили на 3
6/56= (6:2)/(56:2)= 3/28 сократили на 2
26/65= (26:13)/(65:13)= 2/5 сократили на 13
52/78= (52:26)/(78:26)= 2/3 сократили на 26
625/2575= (625:25)/(2575:25)= 25/103 сократили на 25
66/99= (66:33)/(99:33)= 1/3 сократили на 33
г)
9/42= (9:3)/(42:3)= 3/14 сократили на 3
25/70= (25:5)/(70:5)= 5/14 сократили
на 5
12/60= (12:12)/(60:12)= 1/5 сократили
на 12
38/105 остается так,
нет делителей общих 38:2=19; 38 делится на 1;2;19;38; а 105:3=35; 35:5=7; 105 делится на 1;3;5;7;35;105.
8/1000= (8:8)/(1000:8)= 1/125 сократили на 8
204/306= (204:34)/(306:34)= 6/9=
(6:3)/(9:3)=2/3 сократили на 34 и
потом на 3