1) Вводим замену: sinx = у Тогда уравнение sin^2x-4sinx+3=0 станет таким: у² - 4у + 3 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант: D=(-4)^2-4*1*3=16-4*3=16-12=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: y₁=(√4-(-4))/(2*1)=(2-(-4))/2=(2+4)/2=6/2=3;y₂=(-√4-(-4))/(2*1)=(-2-(-4))/2=(-2+4)/2=2/2=1. Обратная замена: sinx = у sinx = 3 это решение по ОДЗ отбрасываем. sinx = 1, х = (π/2) + 2πk, k ∈ Z.
2) 2cos^2x + 5cosx + 3 = 0. Замена cosx = у. 2у² + 5у + 3 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант: D=5^2-4*2*3=25-4*2*3=25-8*3=25-24=1;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: y₁=√1-5)/(2*2)=(1-5)/(2*2)=-4/(2*2)=-4/4=-1;y₂=(-√1-5)/(2*2)=(-1-5)/(2*2)=-6/(2*2)=-6/4=-1,5. Обратная замена: cosx = у. cosx = -1. x = π + πk, k ∈ Z. cosx = -1,5 это решение по ОДЗ отбрасываем.
Тогда уравнение sin^2x-4sinx+3=0 станет таким:
у² - 4у + 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-4)^2-4*1*3=16-4*3=16-12=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y₁=(√4-(-4))/(2*1)=(2-(-4))/2=(2+4)/2=6/2=3;y₂=(-√4-(-4))/(2*1)=(-2-(-4))/2=(-2+4)/2=2/2=1.
Обратная замена: sinx = у
sinx = 3 это решение по ОДЗ отбрасываем.
sinx = 1,
х = (π/2) + 2πk, k ∈ Z.
2) 2cos^2x + 5cosx + 3 = 0.
Замена cosx = у.
2у² + 5у + 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=5^2-4*2*3=25-4*2*3=25-8*3=25-24=1;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y₁=√1-5)/(2*2)=(1-5)/(2*2)=-4/(2*2)=-4/4=-1;y₂=(-√1-5)/(2*2)=(-1-5)/(2*2)=-6/(2*2)=-6/4=-1,5.
Обратная замена: cosx = у.
cosx = -1.
x = π + πk, k ∈ Z.
cosx = -1,5 это решение по ОДЗ отбрасываем.