Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решить тригонометрическое уравнение

Показать ответ

Ответ:

Алина1ззз

10.10.2020 07:54

$\Big(\cos 4x-\cos 2x\Big)^2=5+\sin 3x\\ \\ \Big(2\cos^2x-1-\cos 2x\Big)^2=5+\sin 3x\\ \\ \left(2\left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\right)^2=5+\sin 3x$

Оценим левую и правую части уравнения

$-1\leq \cos 2x\leq 1~~~\bigg|-\dfrac{1}{4}\\ \\ -\dfrac{5}{4}\leq \cos 2x-\dfrac{1}{4}\leq \dfrac{3}{4}\\ \\ 0\leq \left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2\leq \dfrac{25}{16}~~~|\cdot 2\\ \\ \\ 0\leq 2\left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2\leq \dfrac{25}{8}~~~\bigg|-\dfrac{9}{8}\\ \\ \\ -\dfrac{9}{8}\leq 2\left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\leq 2\\ \\ \\ 0\leq \left(2\left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\right)^2\leq 4$

Правая часть уравнения:

$-1\leq \sin 3x\leq 1~~~|+5\\ \\ 4\leq 5+\sin 3x\leq 6$

Как видим, уравнение верно когда $(\cos 4x-\cos 2x)^2=4$ или $5+\sin 3x=4$

$(\cos 4x-\cos 2x)^2=4\\ \\ \cos 4x-\cos 2x=\pm 2\\ \\ 2\cos^22x-\cos 2x-1=\pm2$

Уравнение $2\cos^22x-\cos 2x-1=-2$ решений не имеет, поскольку если решить уравнение как квадратное уравнение относительно cos2x то его дискриминант < 0.

$2\cos^22x-\cos 2x-1=2\\ \\ 2\cos^22x-\cos 2x-3=0\\ \\ D=1-4\cdot 2\cdot (-3)=25\\ \\ \cos 2x=\dfrac{1+5}{2\cdot 2}=\dfrac{3}{2}~~~\notin [-1;1]\\\\\\ \cos 2x=\dfrac{1-5}{2\cdot 2}=-1~~~\Rightarrow~~~ 2x=\pi +2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$5+\sin 3x=4\\ \\ \sin3x=-1\\ \\ \boxed{x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi k}{3}, k\in \mathbb{Z}}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

jamal55

11.08.2021 08:25

Изобразить на числовой оси решение системы неравенств: 2^2+9x меньше или равно -7 и 2x+5 меньше или равно 0...

khludenev99

11.08.2021 08:25

Решите уровнение 9х=81,12х=24+24? ?...

Иркутяночка52017

11.08.2021 08:25

Вмагазине вся мебель продается в разобранном виде. покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 5% от стоимости купленной мебели. шкаф стоит 4200...

dilpiztalipova

11.08.2021 08:25

Решите уравнение : а)b-13/15=13/45. б)7,36d-3,6d=39,48...

24vwyda

11.08.2021 08:25

Автомобиль за 3 часа проехал 240 километров какое расстояние проедет за это время поезд если его скорость на 10 километров час меньше скорости автомобиля автомобиль за 3 часа проехал...

morni228

11.08.2021 08:25

Задумали число, составили разность 52 и суммы задуманного числа и 15. полученный результат вычли из 43 и получили 17. какое число задумали?...

kfkkffkdkd

11.08.2021 08:25

Переведите на . рекордны ленинград фронтында рядовой дик куйган....

Tinochka173

11.08.2021 08:25

Бир санды 400 ге арттырганда натижеде 900 шыкты...

vegyan0000

11.08.2021 08:25

Дистанция международного марафона составляет 42 км 195м,а дистанция детского марафона - 4км900м. на сколько дистанция международного марафона больше дистанции детского марафона....

vasa2283

11.08.2021 08:25

Работая на съемках, режиссёр набрал 14 актрис, 12 актеров, двух операторов, одного костюмера, одного гримера и одного осветителя. сколько человек работают на съемках?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку