Решить уравнение: 1/х + х +х^2++x^n+=3,5. где |х|< 1. сразу говорю, что ответа два. один у меня сошёлся, а второй - нет. первый, который сошёлся - 1/3. нужно при решении, естественно, задействовать геом. прогрессию.
Для решения данного уравнения, нам нужно использовать метод геометрической прогрессии. Перед тем как начать, давайте упростим уравнение, чтобы оно выглядело более понятно.
Итак, мы имеем уравнение:
1/x + x + x^2 + x^n = 3,5.
Для упрощения уравнения умножим каждый его член на x:
1 + x^2 + x^(n+1) + x^(n+2) = 3,5x.
Теперь нам нужно привести уравнение к квадратному виду. Для этого вычтем 3,5x из обеих сторон:
x^(n+2) + x^(n+1) + x^2 - 3,5x + 1 = 0.
Теперь воспользуемся методом геометрической прогрессии. У нас есть сумма геометрической прогрессии, и мы хотим найти значение её первого члена. Для этого воспользуемся следующей формулой:
Sn = a*(1 - r^n) / (1 - r),
где Sn - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии и n - количество членов прогрессии.
В нашем уравнении, у нас есть следующая геометрическая прогрессия:
a = x,
r = x,
n = n + 2.
Таким образом, мы можем переписать наше уравнение в следующем виде:
Sn = x*(1 - x^(n+2)) / (1 - x).
Теперь, заметим, что у нас есть уравнение, где сумма геометрической прогрессии равна 3,5:
3,5 = x*(1 - x^(n+2)) / (1 - x).
Мы хотим найти значение x, поэтому нужно решить это уравнение относительно x.
Поскольку в задаче сказано, что |x| < 1, мы можем заметить, что если решение для x меньше модуля 1, то решение будет сходиться. Очевидно, что это наш первый ответ x = 1/3, так как 1/3 < 1.
Поэтому, наш первый ответ x = 1/3.
Однако, чтобы получить второй ответ, который не сходится, нужно рассмотреть случай, когда x = 1. Подставим x = 1 в исходное уравнение:
1/1 + 1 + 1^2 + 1^n = 3,5.
1 + 1 + 1 + 1^n = 3,5.
3 + 1^n = 3,5.
1^n = 0,5.
|1^n| = |0,5|.
1 = 0,5,
что является противоречием.
Таким образом, второго решения нет, потому что оно противоречит ограничению |x| < 1.
1/х + х +х^2+...+x^n+...=3,5
1/х +1+ х +х^2+...+x^n+...=3,5+1
1/х +1+ х +х^2+...+x^n+...=4,5
(b[1]=1/x, b[2]=1, q=b[2]/b[1]=1/(1/x)=x)
(S=b[1]/(1-q) , S=1/(x(1-x)) )
1/(x(1-x))=4.5
4.5x(1-x)=1
4.5x^2-4.5x+1=0
D=2.25
x1=(4.5-1.5)/(2*4.5)=3/9=1/3
x2=(4.5+1.5)/(2*4.5)=6/9=2/3
Итак, мы имеем уравнение:
1/x + x + x^2 + x^n = 3,5.
Для упрощения уравнения умножим каждый его член на x:
1 + x^2 + x^(n+1) + x^(n+2) = 3,5x.
Теперь нам нужно привести уравнение к квадратному виду. Для этого вычтем 3,5x из обеих сторон:
x^(n+2) + x^(n+1) + x^2 - 3,5x + 1 = 0.
Теперь воспользуемся методом геометрической прогрессии. У нас есть сумма геометрической прогрессии, и мы хотим найти значение её первого члена. Для этого воспользуемся следующей формулой:
Sn = a*(1 - r^n) / (1 - r),
где Sn - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии и n - количество членов прогрессии.
В нашем уравнении, у нас есть следующая геометрическая прогрессия:
a = x,
r = x,
n = n + 2.
Таким образом, мы можем переписать наше уравнение в следующем виде:
Sn = x*(1 - x^(n+2)) / (1 - x).
Теперь, заметим, что у нас есть уравнение, где сумма геометрической прогрессии равна 3,5:
3,5 = x*(1 - x^(n+2)) / (1 - x).
Мы хотим найти значение x, поэтому нужно решить это уравнение относительно x.
Поскольку в задаче сказано, что |x| < 1, мы можем заметить, что если решение для x меньше модуля 1, то решение будет сходиться. Очевидно, что это наш первый ответ x = 1/3, так как 1/3 < 1.
Поэтому, наш первый ответ x = 1/3.
Однако, чтобы получить второй ответ, который не сходится, нужно рассмотреть случай, когда x = 1. Подставим x = 1 в исходное уравнение:
1/1 + 1 + 1^2 + 1^n = 3,5.
1 + 1 + 1 + 1^n = 3,5.
3 + 1^n = 3,5.
1^n = 0,5.
|1^n| = |0,5|.
1 = 0,5,
что является противоречием.
Таким образом, второго решения нет, потому что оно противоречит ограничению |x| < 1.
Итак, у нас есть одно решение x = 1/3.