Даны координаты вершин треугольника АВС: А(7; 1), B(-5; -4), C(-9; -1).
Найти :
1) Длину стороны АВ.
Вектор АВ = (-5-7; -4 - 1) = (-12; -5 ). Модуль равен √((-12)² + (-5)²) = 13.
2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти ,
Уравнение АВ: (х -7)/(-12) = (у - 1)/(-5) это канонический вид.
Угловой коэффициент равен: к(АВ) = Δу/Δх = -5/(-12) = 5/12.
Уравнение АВ в общем виде:
5х - 35 = 12у - 12,
5х - 12у - 23 = 0, направляющий вектор равен (5; -12)
Вектор ВС = (-9-(-5); -1 -(-4)) = (-4; 3). Модуль равен √((-4)² + 3²) = 5.
Уравнение ВС: (х + 5)/(-4) = (у + 4)/3.
или в общем виде 3х +4у + 31 = 0.
Угловой коэффициент равен Δу/Δх = 3/-4 = -3/4.
3) внутрішній кут В в радіанах.
Вектор ВА = -АВ = (12; 5 ), модуль равен √(12² + 5²) = √169 = 13.
Вектор ВС = (-4; 3 ), модуль равен 5.
cos B = (12*(-4)+ 5*3) / (13*5) = -33 /65 ≈ -0,507692308
B = 2,103300425 радиан
B = 120,5102374 градусов
4) рівняня медіани АЕ ,
Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.
Е = (В(-5; -4)+С(-9; -1)) / 2 = (-7; -2,5).
Вектор АЕ = (-7-7; -2,5-1) = (-14; -3,5).
Уравнение АЕ: (х - 7)/(-14) = (у - 1)/(-3,5)
или в целых числах (х - 7)/28 = (у - 1)/7 .
В общем виде 7х - 28у - 21 = 0.
5) рівняня висоти СД та її довжину ,
Высота СД перпендикулярна стороне АВ: 5х - 12у - 23 = 0.
Уравнение СД имеет вид 12х + 5у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А).
Для определения величины С подставим координаты точки С(-9; -1).
СД: 12*(-9) + 5*(-1) + С = 0, отсюда С = 5 + 108 = 113.
СД: 12х + 5у + 113 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C| √(A² + B²)
Подставим в формулу данные:
d = |5·(-9) + (-12)·(-1) + (-23)| /√(5² + (-12)²) = |-45 + 12 - 23| /√(25 + 144) =
= 56 /√169 = 56/ 13 ≈ 4.30769.
х = 5 3/7 - 3 2/7
х = 2 1/7
-------------------------------------
3 2/7 + 2 1/7 = 5 3/7
5 3/7 = 5 3/7
3/4 * (х-1/4) = 1 5/16
3/4 * х - 3/4 * 1/4 = 1 5/16
3/4 * х - 3/16 = 1 5/16
3/4 * х = 1 5/16 + 3/16
3/4 * х = 1 8/16
3/4 * х = 1 1/2
х = 1 1/2 : 3/4 = 3/2 * 4/3 = 4/2
х=2
-------------------------------------
3/4 * (2 - 1/4) = 1 5/16
3/4 * 1 3/4 = 1 5/16
3/4 * 7/4 = 1 5/16
21/16 = 1 5/16
1 5/16 = 1 5/16
х + 8 3/7 = 9
х = 9 - 8 3/7
х = 4/7
------------------------------------
4/7 + 8 3/7 = 9
8 + 7/7 = 9
8 + 1 = 9
9=9
(3 4/5 - х ) : 12/13 = 13/20
3 4/5 - х = 13/20 * 12/13
3 4/5 - х = 12/20
3 4/5 - х = 3/5
х=3 4/5 - 3/5
х= 3 1/5
----------------------------------------
(3 4/5 - 3 1/5) : 12/13 = 13/20
3/5 : 12/13 = 13/20
3/5 * 13/12 = 13/20
13/20 = 13/20
5 2/3 * (12-х) = 1 5/12
12 - х = 1 5/12 : 5 2/3
12 - х = 17/12 * 3/17
12 - х = 3/12
12 - х = 1/4
х= 12 - 1/4
х = 11 3/4
------------------------------------------
5 2/3 * (12 - 11 3/4) = 1 5/12
17/3 * 1/4 = 1 5/12
17/12 = 1 5/12
1 5/12 = 1 5/12
(х - 2 1/8) : 7 5/6 = 1
х - 2 1/8 = 1 * 7 5/6
х = 7 5/6+ 2 1/8 = 7 20/24 + 2 3/24
х = 9 23/24
----------------------------------------------
(9 23/24 - 2 1/8) : 7 5/6 = 1
(9 23/24 - 2 3/24) : 7 5/6 = 1
7 20/24 : 7 5/6 =1
7 5/6 : 7 5/6 = 1
1=1
3 2/5 - х = 1 7/15
х = 3 2/5 - 1 7/15 = 3 6/15 - 1 7/15 = 1+ ( 21/15 - 7/15)
х =1 14/15
--------------------------------------------
3 2/5 - 1 14/15 = 1 7/15
3 6/15 - 1 14/15 = 1 7/15
51/15 - 29/15 = 1 7/15
22/15 = 1 7/15
1 7/15 = 1 7/15
(10-х) : 12/35 = 35/12
10-х = 35/12 * 12/35
10-х=1
х=10-1
х=9
------------------------------
(10-9) : 12/35 = 35/12
1 : 12/35 = 35/12
1 * 35/12 = 35/12
35/12=35/12
2 11/12 = 2 11/12
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(7; 1), B(-5; -4), C(-9; -1).
Найти :
1) Длину стороны АВ.
Вектор АВ = (-5-7; -4 - 1) = (-12; -5 ). Модуль равен √((-12)² + (-5)²) = 13.
2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти ,
Уравнение АВ: (х -7)/(-12) = (у - 1)/(-5) это канонический вид.
Угловой коэффициент равен: к(АВ) = Δу/Δх = -5/(-12) = 5/12.
Уравнение АВ в общем виде:
5х - 35 = 12у - 12,
5х - 12у - 23 = 0, направляющий вектор равен (5; -12)
Вектор ВС = (-9-(-5); -1 -(-4)) = (-4; 3). Модуль равен √((-4)² + 3²) = 5.
Уравнение ВС: (х + 5)/(-4) = (у + 4)/3.
или в общем виде 3х +4у + 31 = 0.
Угловой коэффициент равен Δу/Δх = 3/-4 = -3/4.
3) внутрішній кут В в радіанах.
Вектор ВА = -АВ = (12; 5 ), модуль равен √(12² + 5²) = √169 = 13.
Вектор ВС = (-4; 3 ), модуль равен 5.
cos B = (12*(-4)+ 5*3) / (13*5) = -33 /65 ≈ -0,507692308
B = 2,103300425 радиан
B = 120,5102374 градусов
4) рівняня медіани АЕ ,
Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.
Е = (В(-5; -4)+С(-9; -1)) / 2 = (-7; -2,5).
Вектор АЕ = (-7-7; -2,5-1) = (-14; -3,5).
Уравнение АЕ: (х - 7)/(-14) = (у - 1)/(-3,5)
или в целых числах (х - 7)/28 = (у - 1)/7 .
В общем виде 7х - 28у - 21 = 0.
5) рівняня висоти СД та її довжину ,
Высота СД перпендикулярна стороне АВ: 5х - 12у - 23 = 0.
Уравнение СД имеет вид 12х + 5у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А).
Для определения величины С подставим координаты точки С(-9; -1).
СД: 12*(-9) + 5*(-1) + С = 0, отсюда С = 5 + 108 = 113.
СД: 12х + 5у + 113 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C| √(A² + B²)
Подставим в формулу данные:
d = |5·(-9) + (-12)·(-1) + (-23)| /√(5² + (-12)²) = |-45 + 12 - 23| /√(25 + 144) =
= 56 /√169 = 56/ 13 ≈ 4.30769.