Решить задачи по теме ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ:
1. В салоне мобильной техники представлены 4 модели телефона Samsung, 5 моделей телефона Nokia и 6 моделей телефона Motorola. В течение дня было продано 3 телефона.
а) Составьте ряд распределения числа телефонов Samsung , среди 3 проданных телефонов, и постройте его график;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;
г) Чему равна вероятность того, что в течение дня было продано как минимум два телефона Samsung?
2. Некоторый ресторан славится хорошей кухней. Управляющий ресторана утверждает, что в субботний вечер в течение получаса подходит в среднем 5 групп посетителей.
а) Составьте ряд распределения возможного числа групп посетителей ресторана в течение получаса; постройте его график;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;
г) Чему равна вероятность того, что три или более групп посетителей прибудут в ресторан в течение 10-минутного промежутка времени?
3. В течение часов-пик в общественном транспорте города происходит в среднем два дорожных происшествия в час. Утреннее время пик длится полтора часа, а вечернее - два часа.
а) Составьте ряды распределения числа дорожных происшествий в утренние и вечерние часы пик и постройте их графики;
б) Найдите числовые характеристики этих распределений;
в) Запишите функции распределений вероятностей и постройте их графики;
г) Чему равна вероятность того, что в определенный день в течение и утреннего, и вечернего времени не произойдет ни одного дорожного происшествия?
4. В течение семестра преподаватели проводят консультации по во которые остались неясными для студентов. Преподаватель, проводящий консультации по статистике, заметил, что в среднем 12 студентов посещают его за час консультационного времени, хотя число студентов, посещающих консультацию в определенный день, в назначенный час, - случайная величина.
а) Составьте ряд распределения числа студентов, посещающих консультации преподавателя по статистике в течение получаса и постройте его график;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;
г) Чему равна вероятность того, что трое студентов придут на консультацию в течение определенных 15 минут?
5. Экзаменационный тест содержит 5 во каждый из которых имеет 4 варианта ответа и только 1 из них верный.
а) Составьте ряд распределения числа правильных ответов и постройте его график;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;
г) Чему равна вероятность того, что по крайней мере 3 ответа будут правильными?
1. В салоне мобильной техники представлены 4 модели телефона Samsung, 5 моделей телефона Nokia и 6 моделей телефона Motorola. В течение дня было продано 3 телефона.
а) Для составления ряда распределения числа телефонов Samsung среди 3 проданных телефонов, нужно посчитать все возможные комбинации.
Поскольку все три телефона должны быть проданы, мы можем рассмотреть комбинации, где есть 1, 2 или 3 телефона Samsung:
Комбинация 1: 1 телефон Samsung, 2 телефона других моделей
Комбинация 2: 2 телефона Samsung, 1 телефон других моделей
Комбинация 3: 3 телефона Samsung
Теперь продолжим с подсчетом количества возможных комбинаций для каждой комбинации:
Комбинация 1: 1 телефон Samsung, 2 телефона других моделей
Количество способов выбрать 1 телефон Samsung: C(4, 1) = 4
Количество способов выбрать 2 телефона других моделей: C(11, 2) = 55
Итого количество комбинаций для Комбинации 1: 4 * 55 = 220
Комбинация 2: 2 телефона Samsung, 1 телефон других моделей
Количество способов выбрать 2 телефона Samsung: C(4, 2) = 6
Количество способов выбрать 1 телефон других моделей: C(11, 1) = 11
Итого количество комбинаций для Комбинации 2: 6 * 11 = 66
Комбинация 3: 3 телефона Samsung
Количество способов выбрать 3 телефона Samsung: C(4, 3) = 4
Итого количество комбинаций для Комбинации 3: 4
Теперь мы можем составить ряд распределения числа телефонов Samsung среди 3 проданных телефонов:
| Число телефонов Samsung | Количество комбинаций |
|------------------------|----------------------|
| 1 | 220 |
| 2 | 66 |
| 3 | 4 |
Построим график данного ряда распределения:
[График]
б) Найдем числовые характеристики этого распределения:
- Математическое ожидание (среднее) E(X) можно найти, умножив каждое значение t из ряда распределения на соответствующую вероятность и сложив полученные произведения:
E(X) = 1 * (220/290) + 2 * (66/290) + 3 * (4/290) = 1.276
- Дисперсия Var(X) можно найти, вычитая квадрат математического ожидания из суммы квадратов значений t, умноженных на соответствующие вероятности:
Var(X) = (1^2)*(220/290) + (2^2)*(66/290) + (3^2)*(4/290) - (1.276^2) = 0.556
- Среднеквадратическое отклонение σ(X) можно найти из дисперсии:
σ(X) = √(Var(X)) = √(0.556) ≈ 0.746
в) Запишем функцию распределения вероятностей в общем виде. Пусть X - число телефонов Samsung среди 3 проданных телефонов.
Тогда функция распределения вероятностей P(X=k) для каждого значения k будет равна сумме вероятностей всех значений t, меньших или равных k:
P(X=1) = 220/290
P(X=2) = (220+66)/290
P(X=3) = (220+66+4)/290
На графике функции распределения вероятностей отложим значения P(X=k) на оси ординат для каждого значения k на оси абсцисс.
[График]
г) Чтобы найти вероятность того, что в течение дня было продано как минимум два телефона Samsung, нужно сложить вероятности для значений 2 и 3:
P(X>=2) = P(X=2) + P(X=3) = (220+66+4)/290 ≈ 0.903
2. Некоторый ресторан славится хорошей кухней. Управляющий ресторана утверждает, что в субботний вечер в течение получаса подходит в среднем 5 групп посетителей.
а) Для составления ряда распределения возможного числа групп посетителей ресторана в течение получаса, нужно использовать пуассоновское распределение. Пусть X - число групп посетителей в течение получаса.
Тогда ряд распределения будет иметь следующий вид:
| Число групп посетителей | Вероятность |
|------------------------|-------------|
| 0 | e^(-5) |
| 1 | 5*e^(-5) |
| 2 | (5^2/2)*e^(-5)/2! |
| 3 | (5^3/3!)*e^(-5)/3! |
| 4 | (5^4/4!)*e^(-5)/4! |
| ... | ... |
Здесь e - основание натурального логарифма, примерно 2.71828, и "!" обозначает факториал.
Построим график данного ряда распределения.
[График]
б) Найдем числовые характеристики этого распределения:
- Математическое ожидание (среднее) E(X) равно λ, а в данном случае - 5.
- Дисперсия Var(X) также равна λ, то есть 5.
- Среднеквадратическое отклонение σ(X) равно √(Var(X)), то есть √5 ≈ 2.236.
в) Запишем функцию распределения вероятностей в общем виде. Пусть X - число групп посетителей в течение получаса.
Тогда функция распределения вероятностей P(X=k) для каждого значения k будет равна сумме вероятностей всех значений t, меньших или равных k:
P(X=0) = e^(-5)
P(X=1) = e^(-5) + 5*e^(-5)
P(X=2) = e^(-5) + 5*e^(-5) + (5^2/2)*e^(-5)/2!
P(X=3) = e^(-5) + 5*e^(-5) + (5^2/2)*e^(-5)/2! + (5^3/3!)*e^(-5)/3!
P(X=4) = e^(-5) + 5*e^(-5) + (5^2/2)*e^(-5)/2! + (5^3/3!)*e^(-5)/3! + (5^4/4!)*e^(-5)/4!
И так далее.
На графике функции распределения вероятностей отложим значения P(X=k) на оси ординат для каждого значения k на оси абсцисс.
[График]
г) Чтобы найти вероятность того, что три или более групп посетителей прибудут в ресторан в течение 10-минутного промежутка времени, нужно сложить вероятности для значений 3, 4, 5, и так далее, до бесконечности.
Так как это бесконечная сумма, можно использовать комплементарную вероятность и вычислить вероятность, что две или менее группы прибудут:
P(X<=2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = e^(-5) + 5*e^(-5) + (5^2/2)*e^(-5)/2! ≈ 0.124
Тогда вероятность, что три или более групп посетителей прибудут, будет равна 1 - P(X<=2):
P(X>=3) = 1 - P(X<=2) ≈ 1 - 0.124 ≈ 0.876
3. В течение часов-пик в общественном транспорте города происходит в среднем два дорожных происшествия в час. Утреннее время пик длится полтора часа, а вечернее - два часа.
а) Для составления рядов распределения числа дорожных происшествий в утренние и вечерние часы пик нужно использовать пуассоновское распределение.
Пусть X1 - число дорожных происшествий в утренние часы пик, X2 - число дорожных происшествий в вечерние часы пик.
Так как время пика разное, мы будем использовать разные параметры λ1 и λ2 для утреннего и вечернего времени соответственно.
Д