решить задачи по теории вероятности!)
1 В лесу жили 6 бакланов и 8 тушканчиков.5 из них поймали и съели. Какова вероятность, что
это были бакланы? Что среди них было хотя бы 3 тушканчика?
2 В тундре жили 14 оленей и 9 лосей. Умерло 10 зверей. Какова вероятность, что среди
уцелевших 2 лося?
3 Вероятность прорыва канализационной трубы = 0,4, вероятность нашествия клопов = 0,6,
обвала потолка = 0,2. Какова вероятность, что ничего не случится?
4 Вероятность того, что змея умрет в первом террариуме = 1/5, во втором террариуме = 1/7, в
третьем террариуме = 1/4. Змею поместили в один из террариумов. Какова вероятность
выжить?
5 В условиях предыдущей задачи змея умерла. Какова вероятность, что она умерла в третьем
террариуме?
6 7% австралийцев — бушмены. Какова вероятность того, что среди 4 австралийцев будет хотя
бы 1 бушмен?
1. Для решения данной задачи нужно выяснить, сколько всего поймано птиц и сколько из них были бакланы. У нас есть информация, что поймано и съедено 5 птиц, но неизвестно, сколько именно из них было бакланами. Мы также знаем, что изначально в лесу жило 6 бакланов и 8 тушканчиков.
Пусть Х обозначает количество бакланов, которые были пойманы и съедены. Тогда задача сводится к определению вероятности P(X = 5 | X = 5 или 6), то есть вероятности того, что были пойманы все бакланы.
Вероятность P(X = 5 | X = 5 или 6) можно вычислить по формуле условной вероятности:
P(X = 5 | X = 5 или 6) = P(X = 5 и X = 5 или 6) / P(X = 5 или 6)
P(X = 5 и X = 5 или 6) = P(X = 5), так как условие X = 5 и X = 5 или 6 одновременно выполняется только когда X = 5.
P(X = 5) = (количество способов выбрать 5 бакланов из 6 бакланов) / (количество способов выбрать 5 птиц из всех птиц)
Для вычисления количества способов выбрать 5 бакланов из 6 можно воспользоваться формулой сочетаний C(n, k). В нашем случае n = 6 и k = 5:
C(6,5) = 6! / (5! * (6-5)!) = 6
Для вычисления количества способов выбрать 5 птиц из всех птиц, в данном случае из 14 птиц, необходимо воспользоваться формулой сочетаний C(n, k). В нашем случае n = 14 и k = 5:
C(14,5) = 14! / (5! * (14-5)!) = 2002
Теперь мы можем вычислить вероятность P(X = 5):
P(X = 5) = 6 / 2002 ≈ 0,003
Так как P(X = 5 и X = 5 или 6) = P(X = 5), то вероятность P(X = 5 | X = 5 или 6) также будет примерно равна 0,003.
Ответ: Вероятность того, что пойманные и съеденные птицы будут являться бакланами, составляет примерно 0,003 или 0,3%.
2. Для решения этой задачи нужно определить, сколько из уцелевших зверей являются лосьми. Мы знаем, что изначально в тундре жило 14 оленей и 9 лосей, а умерло 10 зверей.
Пусть Y обозначает количество лосей среди уцелевших зверей. Задача сводится к определению вероятности P(Y = 2 | Y = 2 или 3), то есть вероятности того, что среди уцелевших зверей будут 2 лося.
Вероятность P(Y = 2 | Y = 2 или 3) можно вычислить по формуле условной вероятности:
P(Y = 2 | Y = 2 или 3) = P(Y = 2 и Y = 2 или 3) / P(Y = 2 или 3)
Поскольку Y = 2 и Y = 2 или 3 одновременно выполняются только когда Y = 2, то P(Y = 2 и Y = 2 или 3) = P(Y = 2).
Для вычисления P(Y = 2) нам необходимо определить количество способов выбрать 2 лося из всех уцелевших зверей, в данном случае (14 - 10) оленей и (9 - 10) лосей. Для этого мы можем воспользоваться формулой сочетаний C(n, k). В нашем случае n = (14 - 10) + (9 - 10) и k = 2:
C((14 - 10) + (9 - 10), 2) = C(3,2) = 3
Таким образом, P(Y = 2) = 3 / (4 * 3 / 2 * 1) = 3 / 12 = 0,25
Теперь мы можем определить P(Y = 2 или 3):
P(Y = 2 или 3) = P(Y = 2) + P(Y = 3)
Для вычисления P(Y = 3) нам необходимо определить количество способов выбрать 3 лося из всех уцелевших зверей:
C((14 - 10) + (9 - 10), 3) = C(3,3) = 1
P(Y = 3) = 1 / (4 * 3 / 3 * 2 * 1) = 1 / 4 = 0,25
Теперь мы можем вычислить P(Y = 2 или 3):
P(Y = 2 или 3) = 0,25 + 0,25 = 0,5
Так как P(Y = 2 и Y = 2 или 3) = P(Y = 2), то вероятность P(Y = 2 | Y = 2 или 3) также будет равна 0,25 или 25%.
Ответ: Вероятность того, что среди уцелевших зверей будут 2 лося, составляет 0,25 или 25%.
3. Для решения данной задачи необходимо определить вероятность того, что ничего из перечисленных событий не произойдет.
Используем формулу произведения вероятностей для независимых событий:
P(ничего не случится) = P(прорыва канализационной трубы) * P(нашествия клопов) * P(обвала потолка)
P(ничего не случится) = 0,4 * 0,6 * 0,2 = 0,048
Ответ: Вероятность того, что ничего из перечисленных событий не произойдет, составляет 0,048 или 4,8%.
4. Для решения этой задачи необходимо определить вероятность выжить змее, помещенной в один из трех террариумов.
Обозначим событие "змея выживает" как А. Тогда задача сводится к определению вероятности P(A), то есть вероятности выживания змеи.
P(A) = P(A в первом террариуме) + P(A во втором террариуме) + P(A в третьем террариуме)
Вероятность выжить в каждом из трех террариумов определена условием задачи: 1/5, 1/7 и 1/4 соответственно.
P(A) = 1/5 + 1/7 + 1/4
Общий знаменатель для суммирования необходимо найти, используя наименьшее общее кратное:
5 * 7 * 4 = 140
P(A) = (1/5) * (7/7) * (28/28) + (1/7) * (5/5) * (28/28) + (1/4) * (5/5) * (35/35)
P(A) = 28/140 + 20/140 + 35/140 = 83/140 ≈ 0,593
Ответ: Вероятность выжить змее, помещенной в один из трех террариумов, составляет примерно 0,593 или 59,3%.
5. Вероятность выжить в каждом из трех террариумов была определена в предыдущей задаче: 1/5, 1/7 и 1/4 соответственно.
Пусть B обозначает событие "змея умерла в третьем террариуме". Задача сводится к определению вероятности P(B | змея умерла).
Используем формулу условной вероятности:
P(B | змея умерла) = P(B и змея умерла) / P(змея умерла)
P(B и змея умерла) = P(B), так как условие B и змея умерла одновременно выполняется только когда B.
P(B) = 1/4
P(змея умерла) = P(змея умерла в первом террариуме) + P(змея умерла во втором террариуме) + P(змея умерла в третьем террариуме)
P(змея умерла) = 1/5 + 1/7 + 1/4 = 83/140 = 0,593
Таким образом, P(B | змея умерла) = P(B) / P(змея умерла) = (1/4) / (83/140) ≈ 0,169
Ответ: Вероятность того, что змея умерла в третьем террариуме, составляет примерно 0,169 или 16,9%.
6. Для решения этой задачи нужно определить вероятность того, что среди 4 австралийцев будет хотя бы 1 бушмен.
Обозначим событие "среди 4 австралийцев есть хотя бы 1 бушмен" как A. Задача сводится к определению вероятности P(A), то есть вероятности того, что среди 4 австралийцев будет хотя бы 1 бушмен.
P(A) = 1 - P(нет бушменов среди 4 австралийцев)
Вероятность того, что среди 4 австралийцев не будет бушменов, можно определить как дополнение к вероятности наличия бушмена, то есть 1 - P(нет бушменов).
P(нет бушменов) = (количество способов выбрать 4 небушменов из всех австралийцев) / (количество способов выбрать 4 австралийцев из всех австралийцев)
Для вычисления количества способов выбрать 4 небушменов из всех австралийцев, в данном случае из 100% - 7% австралийцев, необходимо воспользоваться формулой сочетаний C(n, k). В нашем случае n = 100% - 7% и k = 4:
C((100% - 7%), 4) = C(93%, 4) ≈ 15 309,43
Для вычисления количества способов выбрать 4 австралийцев из всех австралийцев, в данном случае из 100%, необходимо воспользоваться формулой сочетаний C(n, k). В нашем случае n = 100% и k = 4:
C(100%, 4) ≈ 38 760
Теперь мы можем вычислить P(нет бушменов):
P(нет бушменов) ≈ 15 309,43 / 38 760 ≈ 0,395
Таким образом, P(A) = 1 - P(нет бушменов) = 1 - 0,395 = 0,605
Ответ: Вероятность того, что среди 4 австралийцев будет хотя бы 1 бушмен, составляет 0,605 или 60,5%.