Решить задачу ЛП с двумя переменными. Применить графический метод. Найти максимум и минимум функции Z = 3x1 - 5x2 + 5 при условиях неотрицательности переменных и 4x1 + 5x2 <= 20, 3x1 + x2 >= 2, 2x1 + 2x2 >=1, -x1 + 2x2 >= -2, 2x1 - x2 >= -1.
Для решения данной задачи линейного программирования с двумя переменными мы будем использовать графический метод. Этот метод позволяет наглядно представить графическое решение и определить точку максимума и минимума функции Z.
Шаг 1: Нарисуем координатную плоскость, где ось x1 будет горизонтальной осью, а ось x2 – вертикальной осью.
Шаг 2: Найдем точки пересечения каждого из неравенств. Для этого рассмотрим одно неравенство за раз и заменим знак неравенства на знак равенства, чтобы построить линии-границы.
Условие 4x1 + 5x2 <= 20:
4x1 + 5x2 = 20
Условие 3x1 + x2 >= 2:
3x1 + x2 = 2
Условие 2x1 + 2x2 >= 1:
2x1 + 2x2 = 1
Условие -x1 + 2x2 >= -2:
-x1 + 2x2 = -2
Условие 2x1 - x2 >= -1:
2x1 - x2 = -1
Шаг 3: Найдем точку пересечения линий-границ. Каждое уравнение представляет собой прямую на плоскости. Найдем точку пересечения двух прямых в каждом из уравнений, чтобы найти область допустимых значений.
Построим график каждой из полученных прямых. Каждое уравнение можно представить в виде y = mx + b, где m - это коэффициент наклона, а b - свободный член.
Условие 4x1 + 5x2 = 20 можно переписать в виде x2 = (20 - 4x1)/5.
Условие 3x1 + x2 = 2 можно переписать в виде x2 = 2 - 3x1.
Условие 2x1 + 2x2 = 1 можно переписать в виде x2 = (1 - 2x1)/2.
Условие -x1 + 2x2 = -2 можно переписать в виде x2 = (-2 + x1)/2.
Условие 2x1 - x2 = -1 можно переписать в виде x2 = 2x1 + 1.
Построим эти прямые на графике.
Шаг 4: Найдем область пересечения всех линий-границ. Область пересечения – это область, которая удовлетворяет условиям всех неравенств одновременно.
Обведите на графике область, в которой все линии пересекаются.
Шаг 5: Найдите вершины полигона (многоугольника), ограничивающего область пересечения. Эти вершины будут точками, в которых функция будет достигать экстремальных значений.
Шаг 6: Оцените значение функции Z в каждой из вершин многоугольника, который вы получили. Значение Z можно найти, подставив значения x1 и x2 в функцию Z = 3x1 - 5x2 + 5.
Выберите вершину с наибольшим значением Z, это будет точка максимума. Выберите вершину с наименьшим значением Z, это будет точка минимума.
Таким образом, мы можем найти максимальное и минимальное значение функции Z = 3x1 - 5x2 + 5 при условиях ограничений неотрицательности переменных и заданных неравенств.
Шаг 1: Нарисуем координатную плоскость, где ось x1 будет горизонтальной осью, а ось x2 – вертикальной осью.
Шаг 2: Найдем точки пересечения каждого из неравенств. Для этого рассмотрим одно неравенство за раз и заменим знак неравенства на знак равенства, чтобы построить линии-границы.
Условие 4x1 + 5x2 <= 20:
4x1 + 5x2 = 20
Условие 3x1 + x2 >= 2:
3x1 + x2 = 2
Условие 2x1 + 2x2 >= 1:
2x1 + 2x2 = 1
Условие -x1 + 2x2 >= -2:
-x1 + 2x2 = -2
Условие 2x1 - x2 >= -1:
2x1 - x2 = -1
Шаг 3: Найдем точку пересечения линий-границ. Каждое уравнение представляет собой прямую на плоскости. Найдем точку пересечения двух прямых в каждом из уравнений, чтобы найти область допустимых значений.
Построим график каждой из полученных прямых. Каждое уравнение можно представить в виде y = mx + b, где m - это коэффициент наклона, а b - свободный член.
Условие 4x1 + 5x2 = 20 можно переписать в виде x2 = (20 - 4x1)/5.
Условие 3x1 + x2 = 2 можно переписать в виде x2 = 2 - 3x1.
Условие 2x1 + 2x2 = 1 можно переписать в виде x2 = (1 - 2x1)/2.
Условие -x1 + 2x2 = -2 можно переписать в виде x2 = (-2 + x1)/2.
Условие 2x1 - x2 = -1 можно переписать в виде x2 = 2x1 + 1.
Построим эти прямые на графике.
Шаг 4: Найдем область пересечения всех линий-границ. Область пересечения – это область, которая удовлетворяет условиям всех неравенств одновременно.
Обведите на графике область, в которой все линии пересекаются.
Шаг 5: Найдите вершины полигона (многоугольника), ограничивающего область пересечения. Эти вершины будут точками, в которых функция будет достигать экстремальных значений.
Шаг 6: Оцените значение функции Z в каждой из вершин многоугольника, который вы получили. Значение Z можно найти, подставив значения x1 и x2 в функцию Z = 3x1 - 5x2 + 5.
Выберите вершину с наибольшим значением Z, это будет точка максимума. Выберите вершину с наименьшим значением Z, это будет точка минимума.
Таким образом, мы можем найти максимальное и минимальное значение функции Z = 3x1 - 5x2 + 5 при условиях ограничений неотрицательности переменных и заданных неравенств.