Воспользуемся методом, позволяющим находить в разложении многочлена на скобки выражения вида Если a>0, это сразу дает два решения если a<0, действительные корни эта скобка не дает, но по любому степень многочлена будет понижена на 2. Кстати, решения вида я называю парными; название мне кажется оправданным. Легко доказать, что многочлен P(x) имеет парные корни тогда и только тогда, когда они обращают в ноль по отдельности сумму четных степеней и сумму нечетных степеней. Это следует из того, что сумма четных степеней равна а сумма нечетных равна
Кстати, это утверждение будет работать и для нулевого корня, если считать, что ноль является парным корнем, в том случае, когда он является кратным.
1) Разбиваем на четные и нечетные степени:
найденные t удовлетворяют и первому уравнению, поэтому оно принимает вид (t-2)(t+1)(t+3)=0, а поскольку исходное уравнение может быть получено в виде суммы этих двух, получаем
900 = х + у (смесь массой 900 грамм состоит из смеси Х и смеси У) (у - 70%у) - (х - 5/6х) = 18 (из смесей Х и У убрали определенное количество смеси. теперь то, что осталось от смеси У больше на 18 грамм, чем то, что осталось от смеси Х)
ЧТО НАЙТИ:
Нужно найти остаток смеси Х и остаток смеси У.
РЕШЕНИЕ:
1. НАХОДИМ ЗНАЧЕНИЕ "Х" и "У".
(у - 70%у) - (х - 5/6х) = 18 30%у - 1/6х = 18 (так как Х и У являются 100% смесей, мы можем преобразовать уравнение в удобный вид) 3/10у - 1/6х = 18 (30% = 0,3 поэтому мы можем преобразовать уравнение) 18/60у - 10/60х = 1080/60 (3/10у домножаем на 6 ; 1/6х домножаем на 10 ; 18 домножаем на 60 ; мы делаем это для того, чтобы в знаменателе у всех чисел стояло 60) 18у - 10х = 1080 (так как у всех в знаменателе стоит 60, мы можем убрать знаменатели и оставить в уравнении только числители) 10х = 18у - 1080 (оставляем значение Х слева, остальное переносим в правую часть, меняя знак) х = 1,8у - 108 (делим уравнение на 10)
900 = х + у (вспомним условие задачи) х = 900 - у х = 1,8у - 108 (мы нашли 2 толкования значения Х) 900 - у = 1,8у - 108 (прировняем их, т.к. Х = Х) -2,8у = - 1008 2,8у = 1008 (домножаем уравнение на -1 и знаки меняются) у = 360 грамм х = 540 грамм
2. НАХОДИМ ОСТАТОК ОТ "Х" и "У".
у - 70%у = 0,3у = 0,3 * 360 = 108 грамм (столько осталось смеси У) х - 5/6х = 1/6х = 1/6 * 540 = 90 грамм (столько осталось смеси Х)
ПРОВЕРКА:
После того, как из смесей выделили определенное количество, смесь У осталось на 18 грамм больше, чем смеси Х.
Из этого следует:
(у - 70%у) - (х - 5/6х) = 18
Подставляем значения:
108 - 90 = 18 18 = 18 (все сходится)
ОТВЕТ: Первого вещества (Х) осталось 90 грамм, а второго вещества (У) осталось 108 грамм.
Воспользуемся методом, позволяющим находить в разложении многочлена на скобки выражения вида
Если a>0, это сразу дает два решения
если a<0, действительные корни эта скобка не дает, но по любому степень многочлена будет понижена на 2. Кстати, решения вида
я называю парными; название мне кажется оправданным. Легко доказать, что многочлен P(x) имеет парные корни
тогда и только тогда, когда они обращают в ноль по отдельности сумму четных степеней и сумму нечетных степеней. Это следует из того, что сумма четных степеней равна
а сумма нечетных равна ![\frac{P(\lambda)-P(-\lambda)}{2}.](/tpl/images/4519/7980/10d5d.png)
Кстати, это утверждение будет работать и для нулевого корня, если считать, что ноль является парным корнем, в том случае, когда он является кратным.
1) Разбиваем на четные и нечетные степени:![x^6+2x^4-5x^2-6=t^3+2t^2-5t-6=0\ \ (t=x^2);](/tpl/images/4519/7980/03e85.png)
найденные t удовлетворяют и первому уравнению, поэтому оно принимает вид (t-2)(t+1)(t+3)=0, а поскольку исходное уравнение может быть получено в виде суммы этих двух, получаем
(t-2)(t+1)(t+3)-2x(t-2)(t+1)=0; (t-2)(t+1)(t-2x+3)=0; (x²-2)(x²+1)(x²-2x+3)=0.
ответ:![\pm\sqrt{2}.](/tpl/images/4519/7980/f1d5d.png)
2) t³+6t²+11t+6=0; -2x(t^2+3t+2)=-2x(t+1)(t+2)=0;
t³+6t²+11t+6=(t+1)(t+2)(t+3); все уравнение принимает вид
(t+1)(t+2)(t+3)-2x(t+1)(t+2)=(t+1)(t+2)(t-2x+3)=(x²+1)(x²+2)(x²-2x+3)=0.
ответ: решений нет.
УСЛОВИЕ:
900 = х + у (смесь массой 900 грамм состоит из смеси Х и смеси У)
(у - 70%у) - (х - 5/6х) = 18 (из смесей Х и У убрали определенное количество смеси. теперь то, что осталось от смеси У больше на 18 грамм, чем то, что осталось от смеси Х)
ЧТО НАЙТИ:
Нужно найти остаток смеси Х и остаток смеси У.
РЕШЕНИЕ:
1. НАХОДИМ ЗНАЧЕНИЕ "Х" и "У".
(у - 70%у) - (х - 5/6х) = 18
30%у - 1/6х = 18 (так как Х и У являются 100% смесей, мы можем преобразовать уравнение в удобный вид)
3/10у - 1/6х = 18 (30% = 0,3 поэтому мы можем преобразовать уравнение)
18/60у - 10/60х = 1080/60 (3/10у домножаем на 6 ; 1/6х домножаем на 10 ; 18 домножаем на 60 ; мы делаем это для того, чтобы в знаменателе у всех чисел стояло 60)
18у - 10х = 1080 (так как у всех в знаменателе стоит 60, мы можем убрать знаменатели и оставить в уравнении только числители)
10х = 18у - 1080 (оставляем значение Х слева, остальное переносим в правую часть, меняя знак)
х = 1,8у - 108 (делим уравнение на 10)
900 = х + у (вспомним условие задачи)
х = 900 - у
х = 1,8у - 108 (мы нашли 2 толкования значения Х)
900 - у = 1,8у - 108 (прировняем их, т.к. Х = Х)
-2,8у = - 1008
2,8у = 1008 (домножаем уравнение на -1 и знаки меняются)
у = 360 грамм
х = 540 грамм
2. НАХОДИМ ОСТАТОК ОТ "Х" и "У".
у - 70%у = 0,3у = 0,3 * 360 = 108 грамм (столько осталось смеси У)
х - 5/6х = 1/6х = 1/6 * 540 = 90 грамм (столько осталось смеси Х)
ПРОВЕРКА:
После того, как из смесей выделили определенное количество, смесь У осталось на 18 грамм больше, чем смеси Х.
Из этого следует:
(у - 70%у) - (х - 5/6х) = 18
Подставляем значения:
108 - 90 = 18
18 = 18 (все сходится)
ОТВЕТ: Первого вещества (Х) осталось 90 грамм, а второго вещества (У) осталось 108 грамм.