Давайте разберем поочередно каждый из вопросов и найдем интегралы.
1. Найти интеграл: ∫(7/x^8)dx
Для решения данного интеграла мы можем воспользоваться правилом степенной функции интегрирования. Интеграл функции вида x^n (где n ≠ -1) выражается как (1/(n+1)) * x^(n+1) + C, где C - постоянная.
В данном случае, n = -8, поэтому интеграл будет равен:
∫(7/x^8)dx = 7/(-8+1) * x^(-8+1) + C = -(7/8) * x^(-7) + C
2. Найти интеграл: ∫(3dx/(8-7x)^4)
Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть u = 8-7x, тогда dx = (-1/7) du. Мы также можем заменить границы интегрирования.
Когда x = 0, u = 8-7(0) = 8.
Когда x = ∞, u = 8-7(∞) = -∞.
Теперь мы можем выразить интеграл в новых переменных:
∫(3dx/(8-7x)^4) = ∫(3*(-1/7)du/u^4)
= (-3/7) * ∫u^(-4) du.
Применим правило степенной функции интегрирования:
∫u^(-4) du = (-1/(-4+1)) * u^(-4+1) + C = (-1/3) * u^(-3) + C.
Теперь мы должны вернуться к исходным переменным:
∫(3dx/(8-7x)^4) = (-3/7) * (-1/3) * (8-7x)^(-3) + C = (1/7) * (8-7x)^(-3) + C.
3. Найти интеграл: ∫(4dx/∛(7x-8))
Для решения этого интеграла мы воспользуемся формулой интегрирования обратной функции. Если имеется функция f(x) и ее производная f'(x), то интеграл от 1/f'(f(x))dx будет равен ∫dx.
Давайте выберем u = 7x-8, тогда du = 7dx и dx = du/7. Также, ∛(7x-8) = u^(1/3).
Теперь мы можем выразить интеграл в новых переменных:
∫(4dx/∛(7x-8)) = ∫(4*(du/7)/u^(1/3))
= (4/7) * ∫u^(-1/3) du.
Применим формулу интегрирования обратной функции:
∫u^(-1/3) du = ∫u^(-1/3) * (u^(2/3))/(u^(2/3)) du
= ∫(u^(2/3))/(u^(1/3)) du = ∫u^(2/3-1/3) du = ∫u^(1/3) du.
Опять применим правило степенной функции интегрирования:
∫u^(1/3) du = (3/((1/3)+1)) * u^((1/3)+1) + C = 3u^(4/3) + C.
Теперь мы должны вернуться к исходным переменным:
∫(4dx/∛(7x-8)) = (4/7) * (3(7x-8)^(4/3)) + C = (12/7)(7x-8)^(4/3) + C.
4. Найти интеграл: ∫(2sin(8x) dx)
Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться правилом интегрирования синуса. Int(sin(ax)) dx = -(1/a) * cos(ax) + C, где a - постоянная.
В данном случае, a = 8, поэтому интеграл будет равен:
∫(2sin(8x) dx) = -(2/8) * cos(8x) + C = -(1/4) * cos(8x) + C.
Таким образом, мы нашли интегралы для каждого из заданных выражений.
Хорошо, я с удовольствием помогу тебе решить этот математический вопрос!
Давай разберем его по шагам:
Шаг 1: Построение треугольника ABC и точки O.
На листе бумаги нарисуй треугольник ABC. Поскольку он правильный, у всех его сторон равные длины. Давай для простоты предположим, что каждая сторона треугольника ABC равна 3.
Шаг 2: Найдем точку пересечения медиан.
Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которую мы обозначим буквой O. Построим медиану из вершины A, нарисовав линию, соединяющую вершину A и середину противоположной стороны BC. Повторим этот процесс для вершин B и C. Заметим, что все три медианы пересекаются в точке O.
Шаг 3: Построим перпендикуляр OD.
Нам также известно, что точка D находится на медиане, соединяющей вершины A и O, и что OD перпендикулярно треугольнику ABC. Нарисуй перпендикуляр от точки O до прямой BC и обозначь точку пересечения с BC буквой D.
Шаг 4: Вычислим длину стороны AB.
У нас дано, что сторона AB имеет длину 3.
Шаг 5: Найдем длину отрезка OD.
У нас дано, что OD равно 2. Так как OD является медианой и перпендикуляром, он делит медианы на отрезки длиной 2 и 4.
Шаг 6: Найдем длину отрезка AD.
Известно, что OD делит медиану на отрезки длиной 2 и 4. Поскольку OD является медианой, точка D является серединой медианы и, следовательно, AD также имеет длину 2.
Шаг 7: Расчитаем длину отрезка DB.
Мы знаем, что сторона AB имеет длину 3, а отрезок AD равен 2. Таким образом, длина отрезка DB равна 3-2=1.
Шаг 8: Найдем tg угла между BD и плоскостью треугольника ABC.
Теперь нам нужно найти тангенс угла между отрезком BD и плоскостью треугольника ABC. Так как у нас даны длины сторон треугольника, мы можем использовать формулу тангенса:
tg(угла) = противолежащая сторона / прилежащая сторона.
В нашем случае противолежащей стороной будет DB, длина которой мы уже рассчитали - 1, а прилежащей стороной будет AD, длина которой также уже известна - 2.
tg(угла) = 1 / 2 = 0.5.
Таким образом, tg угла между отрезком BD и плоскостью треугольника ABC равен 0.5.
Надеюсь, это решение понятно для школьника. Если у него возникнут вопросы, я готов помочь их разъяснить!
1. Найти интеграл: ∫(7/x^8)dx
Для решения данного интеграла мы можем воспользоваться правилом степенной функции интегрирования. Интеграл функции вида x^n (где n ≠ -1) выражается как (1/(n+1)) * x^(n+1) + C, где C - постоянная.
В данном случае, n = -8, поэтому интеграл будет равен:
∫(7/x^8)dx = 7/(-8+1) * x^(-8+1) + C = -(7/8) * x^(-7) + C
2. Найти интеграл: ∫(3dx/(8-7x)^4)
Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть u = 8-7x, тогда dx = (-1/7) du. Мы также можем заменить границы интегрирования.
Когда x = 0, u = 8-7(0) = 8.
Когда x = ∞, u = 8-7(∞) = -∞.
Теперь мы можем выразить интеграл в новых переменных:
∫(3dx/(8-7x)^4) = ∫(3*(-1/7)du/u^4)
= (-3/7) * ∫u^(-4) du.
Применим правило степенной функции интегрирования:
∫u^(-4) du = (-1/(-4+1)) * u^(-4+1) + C = (-1/3) * u^(-3) + C.
Теперь мы должны вернуться к исходным переменным:
∫(3dx/(8-7x)^4) = (-3/7) * (-1/3) * (8-7x)^(-3) + C = (1/7) * (8-7x)^(-3) + C.
3. Найти интеграл: ∫(4dx/∛(7x-8))
Для решения этого интеграла мы воспользуемся формулой интегрирования обратной функции. Если имеется функция f(x) и ее производная f'(x), то интеграл от 1/f'(f(x))dx будет равен ∫dx.
Давайте выберем u = 7x-8, тогда du = 7dx и dx = du/7. Также, ∛(7x-8) = u^(1/3).
Теперь мы можем выразить интеграл в новых переменных:
∫(4dx/∛(7x-8)) = ∫(4*(du/7)/u^(1/3))
= (4/7) * ∫u^(-1/3) du.
Применим формулу интегрирования обратной функции:
∫u^(-1/3) du = ∫u^(-1/3) * (u^(2/3))/(u^(2/3)) du
= ∫(u^(2/3))/(u^(1/3)) du = ∫u^(2/3-1/3) du = ∫u^(1/3) du.
Опять применим правило степенной функции интегрирования:
∫u^(1/3) du = (3/((1/3)+1)) * u^((1/3)+1) + C = 3u^(4/3) + C.
Теперь мы должны вернуться к исходным переменным:
∫(4dx/∛(7x-8)) = (4/7) * (3(7x-8)^(4/3)) + C = (12/7)(7x-8)^(4/3) + C.
4. Найти интеграл: ∫(2sin(8x) dx)
Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться правилом интегрирования синуса. Int(sin(ax)) dx = -(1/a) * cos(ax) + C, где a - постоянная.
В данном случае, a = 8, поэтому интеграл будет равен:
∫(2sin(8x) dx) = -(2/8) * cos(8x) + C = -(1/4) * cos(8x) + C.
Таким образом, мы нашли интегралы для каждого из заданных выражений.
Давай разберем его по шагам:
Шаг 1: Построение треугольника ABC и точки O.
На листе бумаги нарисуй треугольник ABC. Поскольку он правильный, у всех его сторон равные длины. Давай для простоты предположим, что каждая сторона треугольника ABC равна 3.
Шаг 2: Найдем точку пересечения медиан.
Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которую мы обозначим буквой O. Построим медиану из вершины A, нарисовав линию, соединяющую вершину A и середину противоположной стороны BC. Повторим этот процесс для вершин B и C. Заметим, что все три медианы пересекаются в точке O.
Шаг 3: Построим перпендикуляр OD.
Нам также известно, что точка D находится на медиане, соединяющей вершины A и O, и что OD перпендикулярно треугольнику ABC. Нарисуй перпендикуляр от точки O до прямой BC и обозначь точку пересечения с BC буквой D.
Шаг 4: Вычислим длину стороны AB.
У нас дано, что сторона AB имеет длину 3.
Шаг 5: Найдем длину отрезка OD.
У нас дано, что OD равно 2. Так как OD является медианой и перпендикуляром, он делит медианы на отрезки длиной 2 и 4.
Шаг 6: Найдем длину отрезка AD.
Известно, что OD делит медиану на отрезки длиной 2 и 4. Поскольку OD является медианой, точка D является серединой медианы и, следовательно, AD также имеет длину 2.
Шаг 7: Расчитаем длину отрезка DB.
Мы знаем, что сторона AB имеет длину 3, а отрезок AD равен 2. Таким образом, длина отрезка DB равна 3-2=1.
Шаг 8: Найдем tg угла между BD и плоскостью треугольника ABC.
Теперь нам нужно найти тангенс угла между отрезком BD и плоскостью треугольника ABC. Так как у нас даны длины сторон треугольника, мы можем использовать формулу тангенса:
tg(угла) = противолежащая сторона / прилежащая сторона.
В нашем случае противолежащей стороной будет DB, длина которой мы уже рассчитали - 1, а прилежащей стороной будет AD, длина которой также уже известна - 2.
tg(угла) = 1 / 2 = 0.5.
Таким образом, tg угла между отрезком BD и плоскостью треугольника ABC равен 0.5.
Надеюсь, это решение понятно для школьника. Если у него возникнут вопросы, я готов помочь их разъяснить!