1. Для начала перепишем систему в более удобном виде:
x^2 + xy + y^2 = 21 (уравнение 1)
x + xy + y = 9 (уравнение 2)
2. Мы можем заметить, что второе уравнение представляет собой сумму первого уравнения и константы 9. Поэтому, выразим x^2+y^2 через x и y из первого уравнения и подставим во второе уравнение:
(x^2 + xy + y^2) + (x + xy + y) = 21 + 9
x^2 + xy + y^2 + x + xy + y = 30
x^2 + x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 30
2x^2 + 2xy + 2y^2 + x + y = 30
3. Теперь обратимся к первому уравнению и выразим xy через x и y:
xy = 21 - (x^2 + y^2) (x^2 + y^2 = 21 - xy)
4. Подставим полученное выражение для xy в третье уравнение:
2x^2 + 2(21 - (x^2 + y^2)) + 2y^2 + x + y = 30
2x^2 + 42 - 2x^2 - 2y^2 + 2y^2 + x + y = 30
42 + x + y = 30
x + y = 30 - 42
x + y = -12
5. Теперь мы имеем два уравнения:
x + y = -12 (уравнение 3)
x + xy + y = 9 (уравнение 2)
6. Из третьего уравнения (уравнение 3) уже видно, что x + y = -12. Подставим это значение вместо x + y во второе уравнение (уравнение 2):
-12 + xy = 9
xy = 9 + 12
xy = 21
7. Теперь мы знаем, что xy = 21. Возвращаемся к первому уравнению (уравнение 1) и выразим x^2 + y^2 через xy:
8. Мы получили, что x^2 + y^2 = 0. Но квадрат любого числа не может быть равен нулю, если оно не равно нулю. То есть, чтобы x^2 + y^2 = 0, должно выполняться x = 0 и y = 0.
9. Теперь у нас есть две возможные комбинации значений: x = 0, y = 0 и x = -12, y = -12.
10. Мы можем проверить каждую из этих комбинаций, подставив их в исходную систему уравнений:
При x = 0 и y = 0:
x^2 + xy + y^2 = 21
0^2 + 0*0 + 0^2 = 21
0 = 21 (неверное)
При x = -12 и y = -12:
(-12)^2 + (-12)*(-12) + (-12)^2 = 21
144 + 144 + 144 = 21
432 = 21 (неверное)
11. Мы видим, что ни одна из найденных комбинаций значений не удовлетворяет исходной системе уравнений. Поэтому, мы можем сделать вывод, что данная система уравнений не имеет решений.
1. Для начала перепишем систему в более удобном виде:
x^2 + xy + y^2 = 21 (уравнение 1)
x + xy + y = 9 (уравнение 2)
2. Мы можем заметить, что второе уравнение представляет собой сумму первого уравнения и константы 9. Поэтому, выразим x^2+y^2 через x и y из первого уравнения и подставим во второе уравнение:
(x^2 + xy + y^2) + (x + xy + y) = 21 + 9
x^2 + xy + y^2 + x + xy + y = 30
x^2 + x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 30
2x^2 + 2xy + 2y^2 + x + y = 30
3. Теперь обратимся к первому уравнению и выразим xy через x и y:
xy = 21 - (x^2 + y^2) (x^2 + y^2 = 21 - xy)
4. Подставим полученное выражение для xy в третье уравнение:
2x^2 + 2(21 - (x^2 + y^2)) + 2y^2 + x + y = 30
2x^2 + 42 - 2x^2 - 2y^2 + 2y^2 + x + y = 30
42 + x + y = 30
x + y = 30 - 42
x + y = -12
5. Теперь мы имеем два уравнения:
x + y = -12 (уравнение 3)
x + xy + y = 9 (уравнение 2)
6. Из третьего уравнения (уравнение 3) уже видно, что x + y = -12. Подставим это значение вместо x + y во второе уравнение (уравнение 2):
-12 + xy = 9
xy = 9 + 12
xy = 21
7. Теперь мы знаем, что xy = 21. Возвращаемся к первому уравнению (уравнение 1) и выразим x^2 + y^2 через xy:
x^2 + y^2 + xy = 21
x^2 + y^2 = 21 - xy
x^2 + y^2 = 21 - 21
x^2 + y^2 = 0
8. Мы получили, что x^2 + y^2 = 0. Но квадрат любого числа не может быть равен нулю, если оно не равно нулю. То есть, чтобы x^2 + y^2 = 0, должно выполняться x = 0 и y = 0.
9. Теперь у нас есть две возможные комбинации значений: x = 0, y = 0 и x = -12, y = -12.
10. Мы можем проверить каждую из этих комбинаций, подставив их в исходную систему уравнений:
При x = 0 и y = 0:
x^2 + xy + y^2 = 21
0^2 + 0*0 + 0^2 = 21
0 = 21 (неверное)
При x = -12 и y = -12:
(-12)^2 + (-12)*(-12) + (-12)^2 = 21
144 + 144 + 144 = 21
432 = 21 (неверное)
11. Мы видим, что ни одна из найденных комбинаций значений не удовлетворяет исходной системе уравнений. Поэтому, мы можем сделать вывод, что данная система уравнений не имеет решений.
Ответ: Система уравнений не имеет решений.