Войти Регистрация Спроси ai-bota

РЕШИТЕ СЛЕДУЮЩУЮ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ЗАДАННЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ С ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

РЕШИТЕ СЛЕДУЮЩУЮ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ЗАДАН

Показать ответ

Ответ:

nazmiburkanova7

15.10.2020 10:53

$\begin{cases} x'=x+4y\\ y'=2x-y+9 \end{cases}$

Преобразования Лапласа:

$x'(t)\rightarrow pX(p)-x(0)=pX(p)-1$

$y'(t)\rightarrow pY(p)-y(0)=pY(p)$

$9\rightarrow\dfrac{9}{p}$

Получаем систему, для краткости записав $X=X(p),\ Y=Y(p)$ :

$\begin{cases} pX-1=X+4Y\\ pY=2X-Y+\dfrac{9}{p} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим Y:

$pY+Y=2X+\dfrac{9}{p}$

$(p+1)Y=2X+\dfrac{9}{p}$

$Y=\dfrac{2X+\dfrac{9}{p}}{p+1}=\dfrac{2pX+9}{p(p+1)}$

Подставим в первое уравнение и выразим Х:

$pX-1=X+4\cdot\dfrac{2pX+9}{p(p+1)}$

$pX-X=1+\dfrac{8pX+36}{p(p+1)}$

$pX-X=1+\dfrac{8pX}{p(p+1)}+\dfrac{36}{p(p+1)}$

$\left(p-1-\dfrac{8p}{p(p+1)}\right)X=1+\dfrac{36}{p(p+1)}$

$\left(p(p+1)(p-1)-8p\right)X=p(p+1)+36$

$\left(p(p^2-1)-8p\right)X=p^2+p+36$

$\left(p^3-p-8p\right)X=p^2+p+36$

$X=\dfrac{p^2+p+36}{p^3-9p}$

Выражаем Y:

$Y=\dfrac{2p\cdot\dfrac{p^2+p+36}{p^3-9p}+9}{p(p+1)}$

$Y=\dfrac{2p(p^2+p+36)+9(p^3-9p)}{p(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{2(p^2+p+36)+9(p^2-9)}{(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{2p^2+2p+72+9p^2-81}{(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{11p^2+2p-9}{(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{(p+1)(11p-9)}{(p+1)(p^3-9p)}$

$Y=\dfrac{11p-9}{p^3-9p}$

Разложим дроби, соответствующие Х и Y, на составляющие:

$\dfrac{p^2+p+36}{p^3-9p}=\dfrac{A}{p}+ \dfrac{B}{p-3}+\dfrac{C}{p+3}=\\$

$=\dfrac{A(p-3)(p+3)+Bp(p+3)+Cp(p-3)}{p^3-9p}=$

$=\dfrac{(A+B+C)p^2+3(B-C)p-9A}{p^3-9p}$

Получаем условие равенства:

$\begin{cases} A+B+C=1 \\ 3(B-C)=1 \\ -9A=36 \end{cases}$

Из третьего уравнения:

A=-4

Остается два уравнения:

$\begin{cases} -4+B+C=1 \\ 3B-3C=1 \end{cases}$

$\begin{cases} B+C=5 \\ 3B-3C=1 \end{cases}$

$\begin{cases} 3B+3C=15 \\ 3B-3C=1 \end{cases}$

Сложим уравнения:

6B=16

Находим В:

$B=\dfrac{8}{3}$

Находим С:

$C=5-B=5-\dfrac{8}{3} =\dfrac{7}{3}$

Итак, представление для Х:

$X=-4\cdot\dfrac{1}{p}+ \dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}+\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}$

Преобразуем Y:

$\dfrac{11p-9}{p^3-9p}=\dfrac{A}{p}+ \dfrac{B}{p-3}+\dfrac{C}{p+3}=\\$

$=\dfrac{(A+B+C)p^2+3(B-C)p-9A}{p^3-9p}$

Получаем условие равенства:

$\begin{cases} A+B+C=0 \\ 3(B-C)=11 \\ -9A=-9 \end{cases}$

Из третьего уравнения:

A=1

Остается система:

$\begin{cases} 1+B+C=0 \\ 3(B-C)=11 \end{cases}$

$\begin{cases} B+C=-1 \\ 3B-3C=11 \end{cases}$

$\begin{cases} 3B+3C=-3 \\ 3B-3C=11 \end{cases}$

Сложим уравнения:

6B=8

Находим В:

$B=\dfrac{4}{3}$

Находим С:

$C=-1-B=-1-\dfrac{4}{3} =-\dfrac{7}{3}$

Представление для Y:

$Y=\dfrac{1}{p}+ \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}$

Решение, записанное в изображениях:

$\begin{cases} X(p)=-4\cdot\dfrac{1}{p}+ \dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}+\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}\\ Y(p)=\dfrac{1}{p}+ \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}\end{cases}$

Обратное преобразование Лапласа:

$X(p) \rightarrow x(t)$

$Y(p) \rightarrow y(t)$

$\dfrac{1}{p} \rightarrow 1$

$\dfrac{1}{p-3} \rightarrow e^{3t}$

$\dfrac{1}{p+3} \rightarrow e^{-3t}$

Искомое решение:

$\begin{cases} x(t)=-4+ \dfrac{8}{3}e^{3t}+\dfrac{7}{3}e^{-3t}\\ y(t)=1+ \dfrac{4}{3}e^{3t}-\dfrac{7}{3}e^{-3t}\end{cases}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

MishaBig

01.09.2022 00:01

Как бы луна двигалась точно по эклиптике, то как часто происходили солнечные и лунные затмения?...

SERYK11

01.09.2022 00:01

А) (в килограммах) 105 тонн 12 тонн 350 кг б) (в граммах) 20 кг 3 кг 120 г 2 ц 30 кг...

ladykati

01.09.2022 00:01

Запиши множество однозначных чисел, которые делятся на 2, в синий круг. а множество однозначных чисел, которые делятся на 3, -в красный круг. сколько элементов в каждом множестве?...

Vova2288s

01.09.2022 00:01

А) (в минутах) 15 ч 10 ч 24 мин 3 сутки б) (в секундах) 3 часа 2 часа 12 мин...

maksborovkov20oxdws5

01.09.2022 00:01

1. диаметр луны 3476 км. вычислите длину экватора луны. 2. диаметр основания юрты равен 8 м. найдите площадь основания юрты....

Tonix502

01.09.2022 00:01

После сокращения дроби 24*245/7*84, получим: 1) 5 2)10 3)12 4)15 5)20...

IrinaEropolova

01.09.2022 00:01

Задана пропорция х: 6=30: у . чему равно х•у ....

bestaminova111

01.09.2022 00:01

Вычислите значение выражения: 11/48+7/36 35 а нечто...

alexeyy2012

01.09.2022 00:01

Сторона эф триугольника дэф равна 53 см. сторона дф больше сторона эф на 2 дм.а сторона дэ на 19 см меньше сторона дф. найдите периметр триугольника дэф и выразите его в дециметрах....

liza1460

01.09.2022 00:01

Запишите числа в стандартном виде: 48000000...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку