АВСД - трапеция , АС=8 см, ВД=15 см, ср. линия = 8,5 см . Найти S трапеции. Проведём прямую СК║ВД до пересечения с АД . Получим параллелограмм ВСКД : ВС=КД=8 см. Также получим ΔАСК: АК=АД+ДК=АД+ВС (сумма оснований трапеции). Высота СН явл. как высотой ΔАСК, так и высотой трапеции. Поэтому площадь ΔАСК равна площади самой трапеции. Так как дана средняя линия , то можно найти длину АК: . Теперь ,зная три стороны, можно найти площадь треугольника по формуле Герона. Но заметим, что боковые стороны ΔАСК : СК=ВД=15 см и АС=8 см, явл. катетами прямоугольного треугольника, так как
Поэтому площадь вычислим как полупроизведение катетов:
Покажем, что 101 девочки может не хватить. Если две их них враждуют со всеми, а остальные 99 дружат друг с другом, легко видеть, что не выполнится ни одно из условий задачи.
Теперь покажем, что 102 девочек обязательно хватит для выполнения одного из условий. Рассмотрим два случая:
Пусть существует 100 девочек, у каждой из которой есть не более 2 врагов среди других 99. Покажем, что их можно расположить так, как требуется в условии 1. Выберем произвольную девочку A₁, после этого выберем девочку A₂, которая дружит с A₁. Потом выберем девочку A₃, которая дружит с A₂. Так будем поступать, пока не выберем девочку A₉₈, которая дружит с A₉₇ (это всегда можно сделать, так как среди 3 оставшихся девочек хотя бы одна дружит с A₉₇). Теперь возможна ситуация, когда обе оставшиеся девочки враждуют с A₉₈. Это означает, что среди остальных девочек у A₉₈ нет врагов. Выберем среди предыдущих 97 девочек одну, которая не враждует с A₉₉ и поменяем её местами с A₉₈. Тогда мы сможем добавить девочку A₉₉ в конец цепочки. Таким образом, мы доказали, что всегда можно составить цепочку из 99 девочек, в которой каждая последующая дружит с предыдущей. Покажем, что туда можно добавить оставшуюся девочку. Если девочка A₁₀₀ не враждует ни с A₁, ни с A₉₉, добавим её и условие 1 выполнится. Если же она враждует хотя бы с одной из них, найдем среди девочек A₂..A₉₈ какую-то, которая не враждует ни с A₁, ни с A₉₉ (это возможно, поскольку у каждой девочки не более 2 врагов). Поменяем её местами с A₁₀₀ и поместим между A₁ и A₉₉, тогда условие 1 выполнится, что и требовалось.
Осталось рассмотреть случай, когда 100 девочек требуемым образом выбрать нельзя. Выберем девочек X и Y с наибольшим числом врагов и рассмотрим остальных 100 девочек. По условию, существует девочка Z, у которой есть не менее 3 врагов, не совпадающих с X и Y. Поскольку у девочки X врагов не меньше, чем у Z, существует девочка W, отличная от Y и Z, которая враждует с X. Кроме того, у девочки Z существуют хотя бы два врага U и V, отличные от X, W и Y. Рассмотрим 97 девочек, не упомянутых выше. Если среди них есть пара девочек P и Q, враждующих между собой, то две пары X,W; P,Q и тройка Z, U, V удовлетворяют условию 2. Если же такой пары нет, то все 97 девочек дружат друг с другом. Если у девочки Y есть враг Y', отличный от X,W,Z,U,V, то две пары X,W; Y,Y' и тройка Z,U,V удовлетворяют условию 1. Если такой пары нет, то у девочки Y не более 5 врагов, тогда и у всех девочек, кроме X, не более 5 врагов. Добавим девочек Z, U, V в группу из 97 дружащих друг с другом девочек. Обозначим девочку Z за A₁, какую-то из 97 девочек, не враждующую с Z и U, за A₂, девочку U за A₃, какую-то из оставшихся 96 девочек, не враждующую с U и V за A₄, девочку V за A₅, среди оставшихся 95 девочек выберем двух, одна из которых не враждует с Z, а вторая не враждует с V, обозначим их соответственно за A₁₀₀ и A₆. Остальных 93 девочек обозначим за A₇,..A₉₉ произвольным образом. Нетрудно видеть, что в этом случае выполняется условие 1, что и требовалось доказать.
Найти S трапеции.
Проведём прямую СК║ВД до пересечения с АД .
Получим параллелограмм ВСКД : ВС=КД=8 см.
Также получим ΔАСК: АК=АД+ДК=АД+ВС (сумма оснований трапеции).
Высота СН явл. как высотой ΔАСК, так и высотой трапеции.
Поэтому площадь ΔАСК равна площади самой трапеции.
Так как дана средняя линия
Теперь ,зная три стороны, можно найти площадь треугольника по формуле Герона.
Но заметим, что боковые стороны ΔАСК : СК=ВД=15 см и АС=8 см, явл. катетами прямоугольного треугольника, так как
Поэтому площадь вычислим как полупроизведение катетов:
Теперь покажем, что 102 девочек обязательно хватит для выполнения одного из условий. Рассмотрим два случая:
Пусть существует 100 девочек, у каждой из которой есть не более 2 врагов среди других 99. Покажем, что их можно расположить так, как требуется в условии 1. Выберем произвольную девочку A₁, после этого выберем девочку A₂, которая дружит с A₁. Потом выберем девочку A₃, которая дружит с A₂. Так будем поступать, пока не выберем девочку A₉₈, которая дружит с A₉₇ (это всегда можно сделать, так как среди 3 оставшихся девочек хотя бы одна дружит с A₉₇). Теперь возможна ситуация, когда обе оставшиеся девочки враждуют с A₉₈. Это означает, что среди остальных девочек у A₉₈ нет врагов. Выберем среди предыдущих 97 девочек одну, которая не враждует с A₉₉ и поменяем её местами с A₉₈. Тогда мы сможем добавить девочку A₉₉ в конец цепочки. Таким образом, мы доказали, что всегда можно составить цепочку из 99 девочек, в которой каждая последующая дружит с предыдущей. Покажем, что туда можно добавить оставшуюся девочку. Если девочка A₁₀₀ не враждует ни с A₁, ни с A₉₉, добавим её и условие 1 выполнится. Если же она враждует хотя бы с одной из них, найдем среди девочек A₂..A₉₈ какую-то, которая не враждует ни с A₁, ни с A₉₉ (это возможно, поскольку у каждой девочки не более 2 врагов). Поменяем её местами с A₁₀₀ и поместим между A₁ и A₉₉, тогда условие 1 выполнится, что и требовалось.
Осталось рассмотреть случай, когда 100 девочек требуемым образом выбрать нельзя. Выберем девочек X и Y с наибольшим числом врагов и рассмотрим остальных 100 девочек. По условию, существует девочка Z, у которой есть не менее 3 врагов, не совпадающих с X и Y. Поскольку у девочки X врагов не меньше, чем у Z, существует девочка W, отличная от Y и Z, которая враждует с X. Кроме того, у девочки Z существуют хотя бы два врага U и V, отличные от X, W и Y. Рассмотрим 97 девочек, не упомянутых выше. Если среди них есть пара девочек P и Q, враждующих между собой, то две пары X,W; P,Q и тройка Z, U, V удовлетворяют условию 2. Если же такой пары нет, то все 97 девочек дружат друг с другом. Если у девочки Y есть враг Y', отличный от X,W,Z,U,V, то две пары X,W; Y,Y' и тройка Z,U,V удовлетворяют условию 1. Если такой пары нет, то у девочки Y не более 5 врагов, тогда и у всех девочек, кроме X, не более 5 врагов. Добавим девочек Z, U, V в группу из 97 дружащих друг с другом девочек. Обозначим девочку Z за A₁, какую-то из 97 девочек, не враждующую с Z и U, за A₂, девочку U за A₃, какую-то из оставшихся 96 девочек, не враждующую с U и V за A₄, девочку V за A₅, среди оставшихся 95 девочек выберем двух, одна из которых не враждует с Z, а вторая не враждует с V, обозначим их соответственно за A₁₀₀ и A₆. Остальных 93 девочек обозначим за A₇,..A₉₉ произвольным образом. Нетрудно видеть, что в этом случае выполняется условие 1, что и требовалось доказать.