Добрый день! Я буду рад стать вашим виртуальным школьным учителем. Давайте решим ваши уравнения и неравенства.
1. Решение уравнения f ' (x) = 0:
Для начала, выражение f ' (x) означает производную функции F(x). Таким образом, нам нужно найти точку, в которой производная F(x) равна нулю.
Дано:
F(x) = x^2 + 2x - 8
Теперь найдем производную F'(x). Для этого возьмем каждое слагаемое нашей функции F(x) и применим правило дифференцирования для каждого члена по отдельности:
F'(x) = (2x) + (2) = 2x + 2
Теперь выразим уравнение f ' (x) = 0:
2x + 2 = 0
Для решения данного уравнения вычтем 2 с обеих сторон:
2x = -2
Затем разделим обе стороны на 2:
x = -1
Таким образом, уравнение f ' (x) = 0 имеет единственное решение x = -1.
2. Решение неравенства f ' (x) ≥ 0:
Аналогично предыдущему пункту, выражение f ' (x) означает производную функции F(x). Нам нужно найти интервалы, на которых значение производной F(x) больше или равно нулю (f ' (x) ≥ 0).
Дано:
F(x) = (1/3)x^3 + x^2 - 8x + 12
Теперь найдем производную F'(x), применяя правило дифференцирования для каждого члена по отдельности:
F'(x) = (1)x^2 + (2x) - (8) = x^2 + 2x - 8
Теперь решим неравенство f ' (x) ≥ 0.
x^2 + 2x - 8 ≥ 0
Для решения данного неравенства, мы должны найти значения x, которые удовлетворяют неравенству. Сначала найдем точки, где левая сторона равна нулю:
x^2 + 2x - 8 = 0
У нас есть несколько способов решить это уравнение - можно использовать факторизацию, завершение квадратного трехчлена или формулу дискриминанта. Я воспользуюсь формулой дискриминанта для его решения.
Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 2 и c = -8 (параметры перед x^2, x и без x, соответственно).
D = (2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36
Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:
Итак, у нас есть две основные точки, где значение производной меняется. Не забудьте добавить весь интервал до бесконечности и после минус бесконечности.
Теперь нам нужно определить знак производной на этих интервалах, чтобы узнать, когда она больше или равна нулю. Просто возьмите любую точку внутри каждого интервала и проверьте ее значение в производной. Если значение положительно или равно нулю, то весь интервал удовлетворяет неравенству.
Займемся этим:
Первый интервал: (-∞, -4)
Выберем x = -5:
F'(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 8
= 25 - 10 - 8
= 7
Так как 7 > 0, производная для всех значений x на этом интервале положительна.
Второй интервал: (-4, 2)
Выберем x = 0:
F'(0) = (0)^2 + 2(0) - 8
= 0 - 0 - 8
= -8
Так как -8 < 0, производная для всех значений x на этом интервале отрицательна.
Третий интервал: (2, ∞)
Выберем x = 5:
F'(5) = (5)^2 + 2(5) - 8
= 25 + 10 - 8
= 27
Так как 27 > 0, производная для всех значений x на этом интервале положительна.
Итак, мы получаем, что значение производной F'(x) ≥ 0 на интервалах (-∞, -4] и [2, ∞).
Я надеюсь, что это решение было подробным и ясным для вас. Если у вас возникают еще вопросы, пожалуйста, задайте их!"
1. Решение уравнения f ' (x) = 0:
Для начала, выражение f ' (x) означает производную функции F(x). Таким образом, нам нужно найти точку, в которой производная F(x) равна нулю.
Дано:
F(x) = x^2 + 2x - 8
Теперь найдем производную F'(x). Для этого возьмем каждое слагаемое нашей функции F(x) и применим правило дифференцирования для каждого члена по отдельности:
F'(x) = (2x) + (2) = 2x + 2
Теперь выразим уравнение f ' (x) = 0:
2x + 2 = 0
Для решения данного уравнения вычтем 2 с обеих сторон:
2x = -2
Затем разделим обе стороны на 2:
x = -1
Таким образом, уравнение f ' (x) = 0 имеет единственное решение x = -1.
2. Решение неравенства f ' (x) ≥ 0:
Аналогично предыдущему пункту, выражение f ' (x) означает производную функции F(x). Нам нужно найти интервалы, на которых значение производной F(x) больше или равно нулю (f ' (x) ≥ 0).
Дано:
F(x) = (1/3)x^3 + x^2 - 8x + 12
Теперь найдем производную F'(x), применяя правило дифференцирования для каждого члена по отдельности:
F'(x) = (1)x^2 + (2x) - (8) = x^2 + 2x - 8
Теперь решим неравенство f ' (x) ≥ 0.
x^2 + 2x - 8 ≥ 0
Для решения данного неравенства, мы должны найти значения x, которые удовлетворяют неравенству. Сначала найдем точки, где левая сторона равна нулю:
x^2 + 2x - 8 = 0
У нас есть несколько способов решить это уравнение - можно использовать факторизацию, завершение квадратного трехчлена или формулу дискриминанта. Я воспользуюсь формулой дискриминанта для его решения.
Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 2 и c = -8 (параметры перед x^2, x и без x, соответственно).
D = (2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36
Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:
x1,2 = (-b ± √D) / 2a
x1,2 = (-2 ± √36) / 2(1)
= (-2 ± 6) / 2
= 4/2 или -8/2
= 2 или -4
Итак, у нас есть две основные точки, где значение производной меняется. Не забудьте добавить весь интервал до бесконечности и после минус бесконечности.
Теперь нам нужно определить знак производной на этих интервалах, чтобы узнать, когда она больше или равна нулю. Просто возьмите любую точку внутри каждого интервала и проверьте ее значение в производной. Если значение положительно или равно нулю, то весь интервал удовлетворяет неравенству.
Займемся этим:
Первый интервал: (-∞, -4)
Выберем x = -5:
F'(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 8
= 25 - 10 - 8
= 7
Так как 7 > 0, производная для всех значений x на этом интервале положительна.
Второй интервал: (-4, 2)
Выберем x = 0:
F'(0) = (0)^2 + 2(0) - 8
= 0 - 0 - 8
= -8
Так как -8 < 0, производная для всех значений x на этом интервале отрицательна.
Третий интервал: (2, ∞)
Выберем x = 5:
F'(5) = (5)^2 + 2(5) - 8
= 25 + 10 - 8
= 27
Так как 27 > 0, производная для всех значений x на этом интервале положительна.
Итак, мы получаем, что значение производной F'(x) ≥ 0 на интервалах (-∞, -4] и [2, ∞).
Я надеюсь, что это решение было подробным и ясным для вас. Если у вас возникают еще вопросы, пожалуйста, задайте их!"