Решите уравнение

​

Был произведён один выстрел.

Гипотезы:

A₁ - стрелял первый стрелок,

A₂ - стрелял второй стрелок,

A₃ - стрелял третий стрелок.

Событие А - после выстрела мишень поражена.

P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = 1/3.

P(A|A₁) = 0,3

P(A|A₂) = 0,5

P(A|A₃) = 0,8

По формуле полной вероятности

P(A) = P(A₁)·P(A|A₁) + P(A₂)·P(A|A₂) + P(A₃)·P(A|A₃) =

= (1/3)·0,3 + (1/3)·0,5 + (1/3)·0,8 = 1,6/3.

По формуле Байеса

P(A₂·A) = P(A₂)·P(A|A₂),

P(A₂·A) = P(A)·P(A₂|A),

P(A)·P(A₂|A) = P(A₂)·P(A|A₂)

P(A₂|A) = P(A₂)·P(A|A₂)/P(A)

P(A₂|A) = ( (1/3)·0,5)/(1,6/3) = 0,5/1,6 = 5/16 = 0,3125.

ответ. 0,3125.

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x - a) равен f(a)

Доказательство

f(x) = (x - a)·g(x) + r, где g(x) - частное, имеет степень на 1 меньше, чем f(x), а r - число (многочлен степени 0)

Тогда, подставляя x = a получаем:

f(a) = (a - a)·g(a) + r, то есть получаем f(a) = r, или r = f(a) - что и требовалось.

Теорема 2

x = a - корень f(x) ⇔ f(x) делится на (x - a)

Доказательство

из теоремы Безу получаем, что если f(a) = 0 (то есть a - корень f(x)) ⇒ f(x) = (x - a)·g(x) + 0 ⇒ f(x) при делении на (x - a) дает g(x) при 0-м остатке, а значит делится (x - a)

Обратно: раз f(x) делится на (x - a), значит остаток равен 0, а он по теореме Безу равен f(a), то есть a - корень f(x)