Решите в целых числах x^2=4y+1

x^2=4y+1

x^2 >=0 значит 4y + 1 >= 0  y >= -1/4  y∈ [0, +∞)

x^2 - 1 = 4y

y = (x - 1)(x + 1)/4

(x - 1)(x + 1) должно нацело делится на 4

1. (x - 1)/4 нацело

x = 4k + 1  k ∈ Z

y = (4k + 1 - 1)(4k + 1 + 1)/4 = k(4k + 2) = 2k(2k + 1) >=0

[-1/2] [0]  k∈ (-∞, -1] U [0, +∞) k ∈Z

2. (x + 1)/4 нацело

x = 4k - 1  k ∈ Z

y = (4k - 1 - 1)(4k - 1 + 1)/4 = k(4k - 2) = 2k(2k - 1) >=0

[0] [1/2]  k∈ (-∞, 0] U [1, +∞) k ∈Z

3. оба четных (х-1) и (х+ 1)

x = 2k -1  

y = (2k - 1 - 1)(2k - 1 + 1)/4 = 2k(2k - 2)/4 = k(k - 1)

[0] [1]  k ∈ Z

x = 2k + 1

y = (2k + 1 - 1)(2k + 1 + 1)/4 = 2k(2k + 2)/4 = k(k + 1)

[-1] [0]  k ∈ Z