Для y = -1/4:
3x - 4(-1/4) = 1
3x + 1 = 1
3x = 1 - 1 = 0
x = 0 / 3 = 0
Итак, мы нашли две точки пересечения этих двух линий: (1/15, -1/5) и (0, -1/4).
Теперь возьмем поверхность между этими двуми точками и найдем ее центр тяжести с помощью двойного интеграла.
Для нахождения центра тяжести нам нужно найти центроид, который находится в середине фигуры. Это будет среднее значение x и y-координаты фигуры.
Для начала найдем значения x-координаты центра тяжести:
Согласно формуле для центроида x̅ = (1/А) * ∬(x * f(x,y) dA),
где f(x,y) - функция, описывающая фигуру, dA - элемент площади, А - площадь фигуры.
A = ∬(1 * f(x,y) dA)
Функция f(x,y) в данном случае будет равной 1, так как поверхностная плоскость считается равной единице.
A = ∬(1 * 1 dA)
Для упрощения вычислений можно перейти к использованию полярных координат. Используем следующую замену переменных: x = r*cos(theta), y = r*sin(theta). Якобиан этой замены равен r.
Тогда новый дифференциал площади будет записываться в виде dA = r*dr*d(theta).
A = ∬(1 * 1 * r * dr * d(theta))
Ограничениями для новых переменных будут: 9(r*cos(theta))^2 + 16(r*sin(theta))^2 = 1 и 3(r*cos(theta)) - 4(r*sin(theta)) = 1.
Зная, что cos(theta) растет от -1 до 1, мы можем записать пределы для theta:
-arccos(sqrt(9/7)) < theta < arccos(sqrt(9/7))
Для r пределы можно задать исходя из геометрической интерпретации фигуры. На первом шаге мы нашли точки пересечения этих двух линий: (1/15, -1/5) и (0, -1/4).
Минимальное значение r будет равно расстоянию от начала координат до точки (1/15, -1/5), а максимальное - расстоянию от начала координат до точки (0, -1/4).
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) (1/2)((sqrt(2)/3sqrt(5))^2 - (1/4)^2) * d(theta)
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) (1/2)((2/15) - (1/16)) * d(theta)
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) (1/2)((32/240) - (15/240)) * d(theta)
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) (1/2)(17/240) * d(theta)
A = (17/480) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) d(theta)
Интеграл ∫ d(theta) берется от минимального предела arccos(sqrt(9/7)) до максимального предела -arccos(sqrt(9/7)). Так как в данном случае они равны, то получаем:
A = (17/480) * ( -arccos(sqrt(9/7)) + arccos(sqrt(9/7)) )
Так как эти два предела равны, то они взаимно уничтожаются:
A = (17/480) * 2 * arccos(sqrt(9/7))
A = (17/240) * arccos(sqrt(9/7))
Теперь, когда мы нашли площадь фигуры A, можем найти координаты центра тяжести.
Для нахождения координаты x̅:
x̅ = (1/A) * ∬(x * f(x,y) dA)
где f(x,y) = 1, dA = r * dr * d(theta)
x̅ = (1/A) * ∫∫(x * r * dr * d(theta))
Также используя полярные координаты и замену переменных, получим:
x = r*cos(theta)
x̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) ∫(1/4, sqrt(2) / 3sqrt(5)) (r*cos(theta) * r * dr * d(theta))
Заданная фигура ограничена двумя линиями: 9x^2+16y^2=1 и 3x-4y=1.
Первым шагом необходимо найти точки пересечения этих двух линий. Для этого приравняем оба уравнения и найдем значения x и y:
9x^2+16y^2=1
3x-4y=1
Перепишем второе уравнение в виде x=(4y+1)/3 и подставим это значение в первое уравнение:
9(4y+1)^2 + 16y^2 = 1
Раскроем скобки:
9(16y^2 + 8y + 1) + 16y^2 = 1
Упростим:
144y^2 + 72y + 9 + 16y^2 = 1
Сгруппируем по степени y:
160y^2 + 72y + 8 = 0
Разделим это уравнение на 8 для упрощения:
20y^2 + 9y + 1 = 0
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.
Решим эту квадратную формулу с использованием формулы дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a=20, b=9 и c=1.
D = 9^2 - 4(20)(1) = 81 - 80 = 1
Дискриминант равен 1, что означает, что у уравнения есть два вещественных корня.
Далее используем формулу для нахождения корней:
y = (-b +- sqrt(D)) / 2a
y = (-9 +- sqrt(1)) / (2(20))
y1 = (-9 + 1) / (40) = -8/40 = -1/5
y2 = (-9 - 1) / (40) = -10/40 = -1/4
Теперь, когда у нас есть значения y, подставим их обратно в уравнение 3x-4y=1, чтобы найти соответствующие значения x:
Для y = -1/5:
3x - 4(-1/5) = 1
3x + 4/5 = 1
3x = 1 - 4/5 = 5/5 - 4/5 = 1/5
x = (1/5) / 3 = 1/5 * 1/3 = 1/15
Для y = -1/4:
3x - 4(-1/4) = 1
3x + 1 = 1
3x = 1 - 1 = 0
x = 0 / 3 = 0
Итак, мы нашли две точки пересечения этих двух линий: (1/15, -1/5) и (0, -1/4).
Теперь возьмем поверхность между этими двуми точками и найдем ее центр тяжести с помощью двойного интеграла.
Для нахождения центра тяжести нам нужно найти центроид, который находится в середине фигуры. Это будет среднее значение x и y-координаты фигуры.
Для начала найдем значения x-координаты центра тяжести:
Согласно формуле для центроида x̅ = (1/А) * ∬(x * f(x,y) dA),
где f(x,y) - функция, описывающая фигуру, dA - элемент площади, А - площадь фигуры.
A = ∬(1 * f(x,y) dA)
Функция f(x,y) в данном случае будет равной 1, так как поверхностная плоскость считается равной единице.
A = ∬(1 * 1 dA)
Для упрощения вычислений можно перейти к использованию полярных координат. Используем следующую замену переменных: x = r*cos(theta), y = r*sin(theta). Якобиан этой замены равен r.
Тогда новый дифференциал площади будет записываться в виде dA = r*dr*d(theta).
A = ∬(1 * 1 * r * dr * d(theta))
Ограничениями для новых переменных будут: 9(r*cos(theta))^2 + 16(r*sin(theta))^2 = 1 и 3(r*cos(theta)) - 4(r*sin(theta)) = 1.
Раскроем скобки в первом уравнении:
9r^2*cos^2(theta) + 16r^2*sin^2(theta) = 1
9r^2*cos^2(theta) + 16r^2(1 - cos^2(theta)) = 1
(9r^2*cos^2(theta) + 16r^2) - 16r^2*cos^2(theta) = 1
9r^2 - 7r^2*cos^2(theta) = 1
r^2(9 - 7cos^2(theta)) = 1
r^2 = 1 / (9 - 7cos^2(theta))
Теперь мы можем записать интеграл для нахождения площади фигуры:
A = ∫∫ r * dr * d(theta)
Находим пределы интегрирования. Поскольку фигура ограничена, нужно найти ограничения для r и theta:
9 - 7cos^2(theta) > 0
cos^2(theta) < 9/7
|cos(theta)| < sqrt(9/7)
Зная, что cos(theta) растет от -1 до 1, мы можем записать пределы для theta:
-arccos(sqrt(9/7)) < theta < arccos(sqrt(9/7))
Для r пределы можно задать исходя из геометрической интерпретации фигуры. На первом шаге мы нашли точки пересечения этих двух линий: (1/15, -1/5) и (0, -1/4).
Минимальное значение r будет равно расстоянию от начала координат до точки (1/15, -1/5), а максимальное - расстоянию от начала координат до точки (0, -1/4).
Найдем эти расстояния:
Для точки (1/15, -1/5):
r1 = sqrt((1/15)^2 + (-1/5)^2) = sqrt(1/225 + 1/25) = sqrt(1/225 + 9/225) = sqrt(10/225) = sqrt(2/45) = sqrt(2) / 3sqrt(5)
Для точки (0, -1/4):
r2 = sqrt(0^2 + (-1/4)^2) = sqrt(1/16) = 1/4
Итак, получаем пределы для r:
1/4 < r < sqrt(2) / 3sqrt(5)
Теперь мы можем записать двойной интеграл для нахождения площади фигуры A:
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)),-arccos(sqrt(9/7))) ∫(1/4, sqrt(2) / 3sqrt(5)) r * dr * d(theta)
Интегрируем по r:
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)),-arccos(sqrt(9/7))) ((r^2) / 2) |_1/4^(sqrt(2) / 3sqrt(5)) * d(theta)
Вычисляем значения внутреннего интеграла:
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) (1/2)((sqrt(2)/3sqrt(5))^2 - (1/4)^2) * d(theta)
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) (1/2)((2/15) - (1/16)) * d(theta)
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) (1/2)((32/240) - (15/240)) * d(theta)
A = ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) (1/2)(17/240) * d(theta)
A = (17/480) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) d(theta)
Интеграл ∫ d(theta) берется от минимального предела arccos(sqrt(9/7)) до максимального предела -arccos(sqrt(9/7)). Так как в данном случае они равны, то получаем:
A = (17/480) * ( -arccos(sqrt(9/7)) + arccos(sqrt(9/7)) )
Так как эти два предела равны, то они взаимно уничтожаются:
A = (17/480) * 2 * arccos(sqrt(9/7))
A = (17/240) * arccos(sqrt(9/7))
Теперь, когда мы нашли площадь фигуры A, можем найти координаты центра тяжести.
Для нахождения координаты x̅:
x̅ = (1/A) * ∬(x * f(x,y) dA)
где f(x,y) = 1, dA = r * dr * d(theta)
x̅ = (1/A) * ∫∫(x * r * dr * d(theta))
Также используя полярные координаты и замену переменных, получим:
x = r*cos(theta)
x̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) ∫(1/4, sqrt(2) / 3sqrt(5)) (r*cos(theta) * r * dr * d(theta))
Вычисляем значение внутреннего интеграла:
x̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) ∫(1/4, sqrt(2) / 3sqrt(5)) r^2 * cos(theta) * dr * d(theta)
x̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) cos(theta) * (∫(1/4, sqrt(2) / 3sqrt(5)) r^2 * dr) * d(theta)
Вычисляем значение внутреннего интеграла:
x̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) cos(theta) * ((r^3) / 3) |_1/4^(sqrt(2) / 3sqrt(5)) * d(theta)
x̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) cos(theta) * ( ( ( (sqrt(2)/3sqrt(5)))^3 ) / 3 - ( ( (1/4)^3 ) / 3 ) ) * d(theta)
x̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) cos(theta) * ( ( ( (2/135) / (27/225)) - (1/64) / (27/225) ) * d(theta)
x̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) cos(theta) * ( ( (2/135) / (27/225)) - (1/64) / (27/225) ) * d(theta)
x̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) cos(theta) * ( (2*225) / (135*27) - 64 / (135*27) ) * d(theta)
x̅ = (1/A) * ( (2*225) / (135*27) - 64 / (135*27) ) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) cos(theta) * d(theta)
x̅ = (1/A) * ( (2*225 - 64) / (135*27) ) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) cos(theta) * d(theta)
x̅ = (1/A) * ( (2*225 - 64) / (135*27) ) * [ sin(theta) ] |_arccos(sqrt(9/7))^(-arccos(sqrt(9/7)))
x̅ = (1/A) * ( (2*225 - 64) / (135*27) ) * ( sin(-arccos(sqrt(9/7))) - sin(arccos(sqrt(9/7))) )
x̅ = (1/A) * ( (2*225 - 64) / (135*27) ) * ( -sqrt(1 - 9/7) - sqrt(1 - 9/7) )
x̅ = (1/A) * ( (2*225 - 64) / (135*27) ) * ( -sqrt(-2/7) - sqrt(-2/7) )
x̅ = (1/A) * ( (2*225 - 64) / (135*27) ) * ( -sqrt(-2/7) - sqrt(-2/7) )
x̅ = (1/A) * ( (2*225 - 64) / (135*27) ) * ( -2sqrt(2/7) )
x̅ = ( (2*225 - 64) / (135*27) ) * ( -2sqrt(2/7) ) / A
Для нахождения координаты y̅ применяем аналогичные шаги:
y = r*sin(theta)
y̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) ∫(1/4, sqrt(2) / 3sqrt(5)) (r*sin(theta) * r * dr * d(theta))
y̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) sin(theta) * (∫(1/4, sqrt(2) / 3sqrt(5)) r^2 * dr) * d(theta)
y̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) sin(theta) * ((r^3) / 3) |_1/4^(sqrt(2) / 3sqrt(5)) * d(theta)
y̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/7))) sin(theta) * (((sqrt(2)/3sqrt(5))^3) / 3 - ((1/4)^3) / 3) * d(theta)
y̅ = (1/A) * ∫(arccos(sqrt(9/7)), -arccos(sqrt(9/