Войти Регистрация Спроси ai-bota

с примером
Найдите интеграл, используя интегрирование по частям:

с примером Найдите интеграл, используя интегрирование по частям:

Показать ответ

Ответ:

Zanyt

06.09.2020 23:22

$\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}} + C$

Пошаговое объяснение:

Для формулы интегрирования по частям возьмем

$u = \sqrt{a^2-x^2} = du = -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx;$

dv = dx = v = x;

Подставляя в формулу, получаем:

$\int {\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = x\sqrt{a^2-x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx;$

Преобразуем интеграл в правой части:

$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = - \int \frac{a^2-x^2-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = - \int \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx + \int \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx =$

$= - \int \sqrt{a^2-x^2}\,dx + a^2 \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx;$

Последний интеграл есть табличный: $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin{\frac{x}{a}} + const$

Обозначим искомый интеграл как $I = \int \sqrt{a^2-x^2}\,dx,$ тогда получаем уравнение относительно :

$I = x\sqrt{a^2-x^2} - I + a^2 \arcsin{\frac{x}{a}} + const;$

$I = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}} + C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

nalininegi

20.01.2021 21:21

Решите уравнение по математике...

dimdasha66

12.10.2021 14:13

Довжини сторін даного трикутника: =10 см, =8 см, =6 см. Визнач відстань від вершини до сторони . Відповідь: відстань дорівнює...

лсагамлснс

15.01.2020 01:16

7 ep.orgРассмотри фигуры. Истинныевысказывания отметь буквой «И»,ложные - буквой «Л».ХКаждая фигура -четырёхугольникили треугольник.ИКаждая фигура –четырёхугольник...

Imychka

08.03.2022 07:24

368. Половину числа умножили на 20% от этого же числа и получи-ли 10. Найдите данное число....

Balthazar1

15.07.2020 20:26

За +- подробное решение...

ооиррррр

22.09.2022 16:30

37 дм (2) больше меньше или равно 370 см (2) 150 мин больше,меньше или равно 3 ч...

nutka1980

22.09.2022 16:30

Количество десятков тысяч некоторого числа увеличили на 7 и получили число 151 347. какое число было первоначально?...

frizikxx

22.09.2022 16:30

(-2,2)*(-2х)*(-7) найдите коэффициент ,...

zhenyakozyrkova

12.05.2023 19:55

У Буратино 26 монет. Кот Базилио положил одну фальшивую их стало 27 известно что фальшивая монета тяжелее обычной за Какое минимальное число взвешиваний можно определить...

floragormonikddd1

12.05.2023 19:55

Калькуляторы и тренажеры по математике и физикеТРЕНАЖЁРЫ РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВТРЕНАЖЁРЫ РЕШЕНИЯ СТОЛБИКОМКАЛЬКУЛЯТОРЫ РЕШЕНИЯ СТОЛБИКОМКалькулятор сложения, вычитания,...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку