с тестом по теме "Интеграл"! (На фото те же примеры, что и в тексте, просто в более понятном виде)

1. Будет ли F(x) первообразной для функции f(x) на указанном промежутке: F(x)=√x, f(x)=1/(2√x), (-∞;+∞)?

ответы:

а) Да,

б) Нет,

в) Зависит от ситуации.

2. Верно ли рассуждение? Если да, то укажите правило, которым вы пользуетесь. Если нет, то укажите в чём ошибка.

Найдём первообразную функции y=2xcos(x). Первообразная для 2x-x^2, для cos(x) - sin(x). Значит первообразной для функции y=2xcos(x) будет служить функция y=x^2sin(x).

ответы:

а) Да, используем правило ___(Дописать правило)___

б) Нет, т.к. ___(Указать ошибку)___

3. Найдите первообразную для функции y=(4-5x)^7 (в седьмой степени).

а) (5(4-5x)^8)/8 ((5 умножить на (4 минус 5x) в восьмой степени) и всё это делить на 8)

б) -(5(4-5x)^8)/8 (всё то же, что и в а), но с минусом в начале)

в) (1/5)*(((4-5x)^8)/8) ((1 делённый на 5) умножить на (4 минус 5x) в 8 степени, где (4 минус 5x) в восьмой степени делён на 8)

г) -(1/5)*(((4-5x)^8)/8) (всё то же, что и в в), но с минусом в начале)

д) 7(4-5x)^6

е) -5*7(4-5x)^6

4. Заполните пропуски.

Если функция y=f(x) имеет на промежутке X первообразную y=F(x), то называют неопределённым интегралом от функции y=f(x) и обозначают .

5. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

а) F(x)=3-sin(x), f(x)=cos(x), x∈(-∞;∞)

б) F(x)=5-x^4, f(x)= -4x^3, x∈(-∞;∞)

в) F(x)=cos(x)-4, f(x)= -sin(x), x∈(-∞;∞)

г) F(x)=3x+x^-2, f(x)= (1/(2x^3))+3, x∈(0;∞)

6) Правильно ли вычислены интегралы:

а) ∫(верх 3, низ 2) (1-x)^4 dx=6*(2/5)

б) ∫(верх (π/2), низ (π/2)) (3cos(x))dx=6

в) ∫(верх (π/2), низ 0) (3/(cos^2*(x/2)))dx=-6

г) ∫(верх 1, низ 0) (x^2-2x+1)dx=(1/3)

д) ∫(верх 2, емз 0) (x^3-x)dx=2

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sin(x), y=0, x=0, x=π.

8. Верны ли равенства:

а) ∫(верх 1, низ 0) x^3dx=(1/4)

б) ∫(верх 5, низ 0) x^2dx=2(1/3)

в) ∫(верх 4, низ 2) x^2dx=2x

г) ∫(верх 3, низ 0) 5dx=(5x^2)/2 |(верх 3, низ 0)=(5/2)*(3^2-0^2)=(45/2)

д) ∫(верх 1, низ 0) x^2dx=(x^3/3) |(верх 1, низ 0)=(1/3)*(1-0)=(1/3)

е) ∫(верх 4, низ 1) (3-2x)dx=((3x^2/2)-2x)

Так как as=bs=8 и  bc=ac=17, то вершина пирамиды S лежит в вертикальной плоскости.Проведём вертикальную секущую плоскость через вершины S и С.
В сечении имеем треугольник SDC, где D - основание высоты из точки С равнобедренного треугольника АВС.
Находим стороны треугольника  SDC:
DC = √(17² - (1/2)4√7)²) = √(289 - 28) = √261 = 16.15549.
SD = √(8² - (1/2)4√7)²) = √(64 - 28) = √36 = 6.
Высота из вершины S является высотой пирамиды SО.
Находим её по формуле:

Подставим значения:
          a                 b        c               p                         2p
16.155494        15        6       18.577747        37.15549442
и получаем высоту SО = 90 / √261 = 30 / √29 =  5.570860145.
Площадь основания пирамиды находим по формуле Герона:
  a      b         c                   p                     2p                    S
17    17    10.583005    22.291503    44.58300524       85.48684109.
Площадь основания можно выразить так:
 S = 85.48684109 = √7308 = 6√(7*29).
Тогда получаем объём пирамиды:
V = (1/3)S*H = (1/3)*(6√(7*29))*(30/√29) = 60/√7 = 22,67787 куб. ед.

Откуда же появилось словосочетание «чечевичная похлёбка»? Об этом можно догадаться, зная немного историю России. До 1917-го года наша страна производила огромные количества чечевицы. Россия импортировала более 4-х млн. пудов чечевицы в год. Нетрудно предположить, что эта культура и на внутреннем рынке была недорога. Ведущими, основными типами блюд русской кухни были супы и каши. Вот в какой-то момент наши предки ввели в свой рацион суп – чечевичную похлёбку. И при промывании она – красная… И при промывании она – красная… Вообще родина культурной чечевицы, как установили учёные – Юго-Западная Азия, страна тёплая. Но чечевица оказалась не слишком прихотливой культурой – большие урожаи собирались в Поволжье, а некоторые сорта были районированы даже для условий Ленинградской области! Поколения войну и послевоенные годы помнят, как в голодные годы этим дешёвым и питательным продуктом. Выведено множество сортов чечевицы, но все они делятся на два типа: крупную, с зеленоватыми в недозрелом и коричневыми в зрелом виде зёрнами, и на красную, мелкозернистую. В России в основном выращивались зелёные сорта чечевицы, красные не давая обильных урожаев зерновой чечевицы, рассматривались как кормовые. Значит, говоря о чечевичной похлёбке, наш русский предок подразумевал блюдо из зелёной чечевицы! Похлёбки Похлёбками на Руси назывались простые супы – отвары на воде одного какого-либо овоща, который придавал блюду основные вкус, цвет и аромат. К ведущему овощу могли быть добавлены в небольшом количестве классические для русской кухни лук, морковь и петрушка, а также пряности. Но все они ни в коем случае не пассеровались, никакие жиры в похлёбки не шли. Зелёная чечевица оказалась очень удобным продуктом для приготовления похлёбок: она быстроварка, в процессе приготовления сохраняет форму, насытчива, дёшева. Итак, чтобы приготовить старинную русскую чечевичную похлёбку, нам понадобится зелёная чечевица. А в Книге Бытия упоминается красное кушанье из чечевицы! Наверное так.