Чтобы найти длину высоты CM треугольника ABC, мы сначала должны найти координаты вершины C. Затем мы можем найти вектор AB и вектор AC, чтобы вычислить нормаль к плоскости ABC.
1. Найдем координаты вершины C.
Для этого мы замечаем, что сторона AC = 4i + 6k. Так как вершина A имеет координаты (1, 2, 0), то мы можем записать вектор AC как (x - 1)i + (y - 2)j + zk. Координата z должна быть нулем, потому что треугольник ABC лежит в плоскости XY.
Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:
x - 1 = 4 (1)
y - 2 = 0 (2)
z = 0 (3)
Решая уравнения (1) и (2), мы можем найти координаты вершины C:
x = 5
y = 2
z = 0
Таким образом, вершина C имеет координаты (5, 2, 0).
2. Найдем вектор AB.
AB можно найти, вычтя координаты вершины A из координат вершины B:
AB = (3 - 1)i + (0 - 2)j + (-3 - 0)k
= 2i - 2j - 3k
3. Найдем вектор AC.
AC мы уже знаем, он равен 4i + 6k.
4. Вычислим векторное произведение AB и AC, чтобы найти нормаль к плоскости ABC.
Нормаль к плоскости ABC будет перпендикулярна к AB и AC и будет длиной равной площади треугольника ABC.
Для вычисления векторного произведения используем формулу:
1. Найдем координаты вершины C.
Для этого мы замечаем, что сторона AC = 4i + 6k. Так как вершина A имеет координаты (1, 2, 0), то мы можем записать вектор AC как (x - 1)i + (y - 2)j + zk. Координата z должна быть нулем, потому что треугольник ABC лежит в плоскости XY.
Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:
x - 1 = 4 (1)
y - 2 = 0 (2)
z = 0 (3)
Решая уравнения (1) и (2), мы можем найти координаты вершины C:
x = 5
y = 2
z = 0
Таким образом, вершина C имеет координаты (5, 2, 0).
2. Найдем вектор AB.
AB можно найти, вычтя координаты вершины A из координат вершины B:
AB = (3 - 1)i + (0 - 2)j + (-3 - 0)k
= 2i - 2j - 3k
3. Найдем вектор AC.
AC мы уже знаем, он равен 4i + 6k.
4. Вычислим векторное произведение AB и AC, чтобы найти нормаль к плоскости ABC.
Нормаль к плоскости ABC будет перпендикулярна к AB и AC и будет длиной равной площади треугольника ABC.
Для вычисления векторного произведения используем формулу:
N = AB × AC
= (2i - 2j - 3k) × (4i + 6k)
= (2 * 6 - (-2) * 4)i + ((-3) * 4 - 2 * 6)j + (2 * 2 - (-2) * (-3))k
= 20i - 26j + 10k
Таким образом, нормаль к плоскости ABC равна (20, -26, 10).
5. Теперь найдем длину высоты CM.
Для этого используем формулу длины вектора:
|CM| = |AC × N| / |N|
|AC × N| = |(4i + 6k) × (20i - 26j + 10k)|
= |(4 * (-26) - 6 * 20)i - (10 * 4 - 4 * 20)j + (4 * 10 - (-26) * 6)k|
= |-284i - 80j + 124k|
= √((-284)^2 + (-80)^2 + 124^2)
= √81000
= 300
|N| = √(20^2 + (-26)^2 + 10^2)
= √(400 + 676 + 100)
= √1176
= 34.29
Таким образом, длина высоты CM равна |CM| / |N| = 300 / 34.29 = 8.75 (округленно до двух десятичных знаков).
Таким образом, длина высоты CM треугольника ABC равна примерно 8.75 единиц.