С1. на школьной доске начерчена окружность диаметром 1 м. у противоположной стены класса стоит ученик. в вытянутой руке он держит линейку, по шкале которой окружность имеет диаметр 6 см. рассчитайте длину класса, если расстояние от глаз ученика до линейки 65 см.
190 (с учетом порядка)
37 (без учета порядка)
Пошаговое объяснение:
Нужно разложить 42 конфеты на 3 четные кучки.
Пусть есть некое разложение числа 42 в сумму трех четных натуральных слагаемых:
2n + 2m + 2r = 42
n + m + r = 21
n,m,r - произвольные натуральные числа.
Как видим, задача эквивалента нахождению разложений числа 21 в сумму трех произвольных натуральных чисел.
Рассмотрим сначала самый простой вариант. (важен порядок разбиения кучек)
То есть, например, 10,10,1 и 1,10,10 - это разные варианты.
Пусть на первом месте стоит число 1<=n<=19, тогда сумма остальных двух чисел равна: 21 - n
Число вариантов разбить 21 - n в виде суммы двух чисел с учетом порядка равна: 21 - n - 1 = 20 - n.
Тогда, число вариантов разбить 21 в сумма трех слагаемых с учетом порядка:
N = (20 -1) + (20 - 2) +(20 - 3) ... + (20 - 19) = 19 + 18 + 17 + 16 + 15... + 1 =
= 19*20/2 = 190 - сумма арифметической прогрессии.
Рассмотрим теперь уже более сложный вариант ( без учета порядка)
Число разложений в сумму трех одинаковых чисел равно 1 и равно:
7+7+7 = 21.
Найдем теперь число разложений в сумму трех чисел среди которых два числа равны (без учета порядка)
То есть такие варианты, где n = r
2n + m = 21
Откуда:
2<=2n<=20
1<=n<=10
То есть всего 9 вариантов, без учета варианта 7,7,7
Число вариантов разместить 2 одинаковых объекта и третий в определенном порядке равно трем.
Тогда число таких вариантов с учетом порядка равно: 3*9 = 27
Таким образом, пользуясь предыдущим результатом, можно найти число вариантов разложения в сумму трех различных натуральных чисел с учетом порядка:
190 - 27 - 1 = 190 - 28 = 162
Число вариантов переставить 3 различных объекта равно 3! = 6, тогда число таких вариантов без учета порядка: 162/6 = 27.
То есть общее число вариантов (без учета) порядка:
27 + 9 + 1 = 37
Для начала разобьем конфеты попарно. Тогда, понимая под объектом пару конфет, нам нужно разделить на 3 кучки 42:2=21 объект, уже не обращая внимания на четность.
Так как кучку с нулевым количеством объектов рассматривать, скорее всего, не имеет смысла, то создадим нужные 3 кучки, задействуя таким образом 3 объекта. Осталось 21-3=18 объектов.
Разделение 18 объектов на 3 кучки при условии, что очередная кучка может не содержать объектов, выражается такой конфигурацией как сочетания с повторениями, а именно:
Полученное количество соответствует случаю, когда порядок следования кучек важен.
Рассмотрим случай, когда порядок следования кучек не важен.
Рассмотрим , где три получившиеся кучки одинаковы. Такой один (6; 6; 6), причем он один и с учетом порядка, и без учета порядка.
Рассмотрим , где две получившиеся кучки одинаковы, а третья - отличается. Перечислим эти без учета порядка:
{0; 0; 18}; {1; 1; 16}; {2; 2; 14};
{3; 3 ;12}; {4; 4; 10}; {5; 5; 8};
{7; 7; 4}; {8; 8; 2}; {9; 9; 0}.
без учета порядка 9, но каждому из них соответствует упорядочить кучки (записать уникальный номер на первое, второе или третье место). Значит, этой ситуации отвечает с учетом порядка и они дают без учета порядка.
Остались , где все три получившиеся кучки разные. Среди с учетом порядка их: 190-1-27=162.
Заметим, что если есть некоторая тройка разных чисел, то упорядочить их можно . Значит, оставшиеся с учетом порядка соответствуют без учета порядка.
Итого без учета порядка:
ответ с учетом порядка кучек без учета порядка кучек