Сделайте математику 1 курс Определение 1. Функцию называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X. Теорема. Если функция монотонна на множестве X, то она обратима. Доказательство:
Пусть функция y=f(x) возрастает на множестве Х и пусть х1≠х2 – две точки множества Х.
Для определенности пусть х1< х2. Тогда из того, что х1 < х2 в силу возрастания функции следует, что f(х1) < f(х2).
Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.
Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции.
Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций (рис. 3, 4) и записаны несколько аналитически заданных функций: а)  б)  Рис. 3 Рис. 4 в) y = 2x + 5; г) y = - + 7. Замечание. Монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием. 2) Понятие обратной функции. Алгоритм составления обратной функции. Определение 2. Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и область ее значений Е(f)=Y. Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х, при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции. Эту функцию обозначают x=f -1(y), и называют обратной по отношению к функции y=f(x),. Затем учитель знакомит учащихся со нахождения обратной функции, заданной аналитически. Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), .
Убедиться, что функция y=f(x) обратима на промежутке Х.
Выразить переменную х через у из уравнения y=f(x), учитывая при этом, что .
В полученном равенстве поменять местами х и у. Вместо х=f -1(y) пишут y=f -1(x).
На конкретных примерах учитель показывает как использовать данный алгоритм. Пример 1. Показать, что для функции y=2x-5 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Решение. Линейная функция y=2x-5 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=2x-5 относительно х; получим . Переобозначим переменные, получим искомую обратную функцию . Она определена и возрастает на R. Пример 2. Показать, что для функции y=x2, х ≤ 0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Решение. Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции, которая имеет вид . 3) Свойства взаимно обратных функций. Свойство 1. Если g – функция обратная к f, то и f – функция обратная к g (функции взаимно обратные), при этом D(g)=E(f), E(g)=D(f). Свойство 2. Если функция возрастает (убывает) на множестве Х, а У – область значений функции, то обратная функция возрастает (убывает) на У. Свойство 3. Чтобы получить график функции , обратной по отношению к функции , надо график функциипреобразовать симметрично относительно прямой у=х. Свойство 4. Если нечетная функция обратима, то обратная ей тоже нечетная. Свойство 5. Если функции f(x) и взаимно обратные, то для любого справедливо , а для любого справедливо . Пример 3. Построить график функции обратной , если это возможно. Решение. На всей своей области определения данная функция не имеет обратной, поскольку она не монотонна. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором функция монотонна: , значит, существует обратная. Найдем ее. Для этого выразим x через y : . Переобозначим - обратная функция. Построим графики функций (рис. 5) и убедимся, что они симметричны относительно прямой y=x.  Рис. 5 Задача №1 К заданной функции f(x) найдите обратную функцию и постройте их графики в одной коорд плоскости у=3х-7 у=2-3х у=2х+1 у=3-2х
Среднее количество дней в году: = (365•3+366)/4 = 365.25 дней среднее количество дней в квартале: d=365.25/4 = 91.3125 дней показатели в начальном периоде: коэффициент оборачиваемости (кол-во оборотов за период) k° = 100/25 = 4 раз продолжительность оборота: t°=d/k° = 91.3125/4 ≈ 22.828 дней показатели в конечном периоде: коэффициент оборачиваемости (кол-во оборотов за период) k¹ = 110/25 = 4.4 раз продолжительность оборота: t¹=d/k¹ = 91.3125/4.4 ≈ 20.753 дней изменение коэффициента оборачиваемости = 4.4-4 = +0.4 раз (или +10%) изменение продолжительности оборота=20.753-22.828=-2.075 дней или 1/(1+10%) -1=1/1.1-1≈-0.091≈-9.1% относительное высвобождение оборотных средств (из-за ускорения оборачиваемости) = 10/4 = -2.5 млн. руб. т. е. просто прирост продаж надо разделить на коэффициент оборачиваемости в начальном периоде.
Данную задачу будем решать с уравнения.
1. Обозначим через х первоначальную скорость автогонщика.
2. Найдем скорость автогонщика после поломки.
х + 20 км/ч.
3. Определим, какое время затратил автогонщик на последние 120 километров.
120 км : (х + 20) км/ч = 120/(х + 20) ч.
4. Найдем, какое время затратил бы автогонщик на последние 120 километров, если бы двигался с первоначальной скоростью.
120 км : х км/ч = 120/х ч.
5. Составим и решим уравнение.
1/15 = 120/x - 120/(x + 20);
1 = 1800/x - 1800/(x + 20);
x2 + 20x - 36000 = 0;
D = 400 + 144000 = 144400;
Уравнение имеет 2 корня х = 180 и х = -200.
Скорость автогонщика не может быть меньше нуля, подходит 1 корень х = 180.
ответ: Первоначальная скорость автогонщика 180 км/ч.