Каноническим уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор , называется уравнение вида
. (1)
Направляющий вектор - это вектор, параллельный искомой прямой. При этом координаты направляющего вектора связаны отношением с общим уравнением как искомой прямой, так и любой другой прямой, параллельной направляющему вектору.
Элементарными преобразованиями (в основном приведением к общему знаменателю и затем умножением всех членов уравнения на общий знаменатель) каноническое уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой в общем виде.
Заметим, что в каноническом уравнении один один из знаменателей (то есть, одна из координат направляющего вектора) или может оказаться равным нулю (оба числа быть равными нулю не могут, ибо вектор ненулевой). Так как всякая пропорция означает равенство , то в данном случае каноническое уравнение прямой запишется в виде
. (2)
Пример 1. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Поскольку одна из координат направляющего вектора равна нулю, то по формуле (2) получаем:
.
Приводим уравнение к общему виду:
.
Пример 2. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. По формуле (2) получаем каноническое уравнение:
.
Приводим уравнение к общему виду:
.
Как видим, координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением отношением . Значит, задача решена корректно.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 3. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной заданной прямой . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Из общего уравнения заданной прямой получаем координаты направляющего вектора:
.
Тогда каноническое уравнение искомой прямой запишется в виде:
.
Приводим это уравнение к общему виду:
Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой отношением .
Пример 4. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и равноудалённой от точек и . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Искомая прямая равноудалена от точек P и Q, следовательно, параллельна прямой, проходящей через эти точки. Поэтому сначала составим общее уравнение этой прямой, а из него получим координаты направляющего вектора искомой прямой:
Таким образом, направляющий вектор запишется так:
.
Каноническое уравнение искомой прямой:
.
Приводим это уравнение к общему виду:
Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой отношением .
Пример 5. Даны вершины треугольника , и . Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC. Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Cначала составим общее уравнение стороны BC, а из него получим координаты направляющего вектора искомой прямой:
Таким образом, направляющий вектор запишется так:
.
Составляем каноническое уравнение искомой прямой:
Приводим это уравнение к общему виду:
Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой. отношением .
К началу страницы
Пройти тест по теме Прямая и плоскость
Всё по теме "Прямая на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой на плоскости
Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
Уравнение Сторон АВ = ( (x-2)/1= (y+1)/1 => y=x-3 ) BC = ( у=3-x ) AC = ( (x-2)/-3 = (y+1)/5 => у=(-5х+7)/3 Уравнение высот Уравнение высоты через вершину B Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0 Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC. Уравнение AC: y = -5/3x + 7/3, т.е. k1 = -5/3 Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1. Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим : -5/3k = -1, откуда k = 3/5 Так как перпендикуляр проходит через точку B(3,0) и имеет k = 3/5,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0). Подставляя x0 = 3, k = 3/5, y0 = 0 получим: y-0 = 3/5(x-3) или y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0 Найдем точку пересечения с прямой AC: Имеем систему из двух уравнений: 3y + 5x - 7 = 0 5y -3x +9 = 0 Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. Получаем: x = 31/17 y = -12/17 D(31/17;-12/17)
Уравнение Медиан Для Стороны ВС: Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1;2) Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому: Каноническое уравнение прямой:
или
или y = -3x + 5 или y + 3x - 5 = 0
Для стороны АВ: Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(5/2;-1/2) Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-1;4) и М(5/2;-1/2), поэтому: Каноническое уравнение прямой:
или
или y = -9/7x + 19/7 или 7y + 9x - 19 = 0
Для стороны АС Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1/2;3/2) Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(3;0) и М(1/2;3/2), поэтому: Каноническое уравнение прямой:
или
или y = -3/5x + 9/5 или 5y + 3x - 9 = 0
Длс СТороны ВС Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1;2) Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому: Каноническое уравнение прямой:
Каноническим уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор , называется уравнение вида
. (1)
Направляющий вектор - это вектор, параллельный искомой прямой. При этом координаты направляющего вектора связаны отношением с общим уравнением как искомой прямой, так и любой другой прямой, параллельной направляющему вектору.
Элементарными преобразованиями (в основном приведением к общему знаменателю и затем умножением всех членов уравнения на общий знаменатель) каноническое уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой в общем виде.
Заметим, что в каноническом уравнении один один из знаменателей (то есть, одна из координат направляющего вектора) или может оказаться равным нулю (оба числа быть равными нулю не могут, ибо вектор ненулевой). Так как всякая пропорция означает равенство , то в данном случае каноническое уравнение прямой запишется в виде
. (2)
Пример 1. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Поскольку одна из координат направляющего вектора равна нулю, то по формуле (2) получаем:
.
Приводим уравнение к общему виду:
.
Пример 2. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. По формуле (2) получаем каноническое уравнение:
.
Приводим уравнение к общему виду:
.
Как видим, координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением отношением . Значит, задача решена корректно.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 3. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной заданной прямой . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Из общего уравнения заданной прямой получаем координаты направляющего вектора:
.
Тогда каноническое уравнение искомой прямой запишется в виде:
.
Приводим это уравнение к общему виду:
Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой отношением .
Пример 4. Составить на плоскости каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и равноудалённой от точек и . Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Искомая прямая равноудалена от точек P и Q, следовательно, параллельна прямой, проходящей через эти точки. Поэтому сначала составим общее уравнение этой прямой, а из него получим координаты направляющего вектора искомой прямой:
Таким образом, направляющий вектор запишется так:
.
Каноническое уравнение искомой прямой:
.
Приводим это уравнение к общему виду:
Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой отношением .
Пример 5. Даны вершины треугольника , и . Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC. Затем привести уравнение к общему виду.
Решение. Cначала составим общее уравнение стороны BC, а из него получим координаты направляющего вектора искомой прямой:
Таким образом, направляющий вектор запишется так:
.
Составляем каноническое уравнение искомой прямой:
Приводим это уравнение к общему виду:
Координаты направляющего вектора связаны с общим уравнением искомой прямой. отношением .
К началу страницы
Пройти тест по теме Прямая и плоскость
Всё по теме "Прямая на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой на плоскости
Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой
Уравнение высот
Уравнение высоты через вершину B
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC.
Уравнение AC: y = -5/3x + 7/3, т.е. k1 = -5/3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
-5/3k = -1, откуда k = 3/5
Так как перпендикуляр проходит через точку B(3,0) и имеет k = 3/5,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 3, k = 3/5, y0 = 0 получим:
y-0 = 3/5(x-3)
или
y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AC:
Имеем систему из двух уравнений:
3y + 5x - 7 = 0
5y -3x +9 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 31/17
y = -12/17
D(31/17;-12/17)
Уравнение Медиан
Для Стороны ВС:
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1;2)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3x + 5 или y + 3x - 5 = 0
Для стороны АВ:
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(5/2;-1/2)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-1;4) и М(5/2;-1/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -9/7x + 19/7 или 7y + 9x - 19 = 0
Для стороны АС
Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1/2;3/2)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(3;0) и М(1/2;3/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3/5x + 9/5 или 5y + 3x - 9 = 0
Длс СТороны ВС
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1;2)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3x + 5 или y + 3x - 5 = 0