Сколько чисел содержится в множестве p, если известно, что среди них 100 чисел кратно двум, 115 – трем, 120 – пяти, 45 –шести, 38 – десяти, 50 – пятнадцати, 20 чисел – тридцати?
Для решения данной задачи, мы можем использовать принцип включения-исключения. Это математический метод, который позволяет нам определить общее число элементов в объединении нескольких множеств.
В нашем случае у нас есть информация о количестве чисел, которые делятся на различные числа. Мы должны учесть, что некоторые числа могут делиться одновременно на два, три и другие числа.
Давайте введем обозначения:
- А – множество чисел, кратных двум,
- В – множество чисел, кратных трем,
- С – множество чисел, кратных пяти,
- D – множество чисел, кратных шести,
- Е – множество чисел, кратных десяти,
- F – множество чисел, кратных пятнадцати,
- G – множество чисел, кратных тридцати.
Мы хотим определить, сколько чисел содержится в объединении этих множеств, то есть в A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G.
Используя принцип включения-исключения, мы можем записать следующее:
|A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G| = |A| + |B| + |C| + |D| + |E| + |F| + |G| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |A ∩ E| - |A ∩ F| - |A ∩ G| - |B ∩ C| - |B ∩ D| - |B ∩ E| - |B ∩ F| - |B ∩ G| - |C ∩ D| - |C ∩ E| - |C ∩ F| - |C ∩ G| ... + |A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G|,
где |X| обозначает мощность множества X (то есть количество элементов в множестве).
Теперь давайте рассмотрим пересечения между парами множеств:
|A ∩ B| – сколько чисел одновременно делится на два и на три? У нас нет информации об этом, поэтому можем считать его нулем (|A ∩ B| = 0).
|A ∩ C| – сколько чисел одновременно делится на два и на пять? У нас опять нет информации, поэтому можем считать его нулем (|A ∩ C| = 0).
|A ∩ D| – сколько чисел одновременно делится на два и на шесть? У нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ D| = 0).
|A ∩ E| – сколько чисел одновременно делится на два и на десять? У нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ E| = 0).
|A ∩ F| – сколько чисел одновременно делится на два и на пятнадцать? У нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ F| = 0).
|A ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на два и на тридцать? У нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ G| = 0).
|B ∩ C| – сколько чисел одновременно делится на три и на пять? Также у нас нет информации и можем считать его нулем (|B ∩ C| = 0).
Продолжим считать остальные пересечения:
|B ∩ D| = |B ∩ E| = |B ∩ F| = |B ∩ G| = |C ∩ D| = |C ∩ E| = |C ∩ F| = |C ∩ G| = 0 (аналогично предыдущим пересечениям результат неизвестен и может считаться нулем).
|D ∩ E| – сколько чисел одновременно делится на шесть и десять? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|D ∩ E| = 0).
|D ∩ F| – сколько чисел одновременно делится на шесть и пятнадцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|D ∩ F| = 0).
|D ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на шесть и тридцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|D ∩ G| = 0).
|E ∩ F| – сколько чисел одновременно делится на десять и пятнадцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|E ∩ F| = 0).
|E ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на десять и тридцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|E ∩ G| = 0).
|F ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на пятнадцать и тридцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|F ∩ G| = 0).
Теперь рассмотрим пересечения трех множеств:
|A ∩ B ∩ C| – сколько чисел одновременно делится на два, три и пять? У нас информация, что 120 чисел делятся на пять, но мы не знаем, сколько из них также делятся на два или три. Поэтому можем считать его нулем (|A ∩ B ∩ C| = 0).
|A ∩ B ∩ D| – сколько чисел одновременно делится на два, три и шесть? Как и в предыдущем случае, информации об этом нет и мы считаем его нулем (|A ∩ B ∩ D| = 0).
..
..
..
|C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на пяти, шести, десяти, пятнадцати и тридцати? Также у нас нет информации и можем считать его нулем (|C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G| = 0).
Наконец, рассмотрим пересечение всех семи множеств:
|A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на два, три, пять, шесть, десять, пятнадцать и тридцать? Также у нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G| = 0).
Теперь, все, что нам осталось - это сложить и вычесть все найденные значения:
|A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G| = |A| + |B| + |C| + |D| + |E| + |F| + |G| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |A ∩ E| - |A ∩ F| - |A ∩ G| - |B ∩ C| - |B ∩ D| - |B ∩ E| - |B ∩ F| - |B ∩ G| - |C ∩ D| - |C ∩ E| - |C ∩ F| - |C ∩ G| ... + |A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G|.
Подставим значения, которые мы получили ранее:
|A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G| = 100 + 115 + 120 + 45 + 38 + 50 + 20 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0.
Теперь можем просто сложить, используя калькулятор или ручной подсчет:
|A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G| = 488.
Таким образом, в множестве p содержится 488 чисел.
115*3=345
120*5=600
45*6=270
38*10=380
50*15=750
20*30=600
200+345+600+270+380+750+600=3145
В нашем случае у нас есть информация о количестве чисел, которые делятся на различные числа. Мы должны учесть, что некоторые числа могут делиться одновременно на два, три и другие числа.
Давайте введем обозначения:
- А – множество чисел, кратных двум,
- В – множество чисел, кратных трем,
- С – множество чисел, кратных пяти,
- D – множество чисел, кратных шести,
- Е – множество чисел, кратных десяти,
- F – множество чисел, кратных пятнадцати,
- G – множество чисел, кратных тридцати.
Мы хотим определить, сколько чисел содержится в объединении этих множеств, то есть в A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G.
Используя принцип включения-исключения, мы можем записать следующее:
|A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G| = |A| + |B| + |C| + |D| + |E| + |F| + |G| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |A ∩ E| - |A ∩ F| - |A ∩ G| - |B ∩ C| - |B ∩ D| - |B ∩ E| - |B ∩ F| - |B ∩ G| - |C ∩ D| - |C ∩ E| - |C ∩ F| - |C ∩ G| ... + |A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G|,
где |X| обозначает мощность множества X (то есть количество элементов в множестве).
Давайте вычислим каждое выражение:
|A| = 100,
|B| = 115,
|C| = 120,
|D| = 45,
|E| = 38,
|F| = 50,
|G| = 20.
Теперь давайте рассмотрим пересечения между парами множеств:
|A ∩ B| – сколько чисел одновременно делится на два и на три? У нас нет информации об этом, поэтому можем считать его нулем (|A ∩ B| = 0).
|A ∩ C| – сколько чисел одновременно делится на два и на пять? У нас опять нет информации, поэтому можем считать его нулем (|A ∩ C| = 0).
|A ∩ D| – сколько чисел одновременно делится на два и на шесть? У нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ D| = 0).
|A ∩ E| – сколько чисел одновременно делится на два и на десять? У нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ E| = 0).
|A ∩ F| – сколько чисел одновременно делится на два и на пятнадцать? У нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ F| = 0).
|A ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на два и на тридцать? У нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ G| = 0).
|B ∩ C| – сколько чисел одновременно делится на три и на пять? Также у нас нет информации и можем считать его нулем (|B ∩ C| = 0).
Продолжим считать остальные пересечения:
|B ∩ D| = |B ∩ E| = |B ∩ F| = |B ∩ G| = |C ∩ D| = |C ∩ E| = |C ∩ F| = |C ∩ G| = 0 (аналогично предыдущим пересечениям результат неизвестен и может считаться нулем).
|D ∩ E| – сколько чисел одновременно делится на шесть и десять? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|D ∩ E| = 0).
|D ∩ F| – сколько чисел одновременно делится на шесть и пятнадцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|D ∩ F| = 0).
|D ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на шесть и тридцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|D ∩ G| = 0).
|E ∩ F| – сколько чисел одновременно делится на десять и пятнадцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|E ∩ F| = 0).
|E ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на десять и тридцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|E ∩ G| = 0).
|F ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на пятнадцать и тридцать? Мы не знаем ответа, поэтому можем считать его нулем (|F ∩ G| = 0).
Теперь рассмотрим пересечения трех множеств:
|A ∩ B ∩ C| – сколько чисел одновременно делится на два, три и пять? У нас информация, что 120 чисел делятся на пять, но мы не знаем, сколько из них также делятся на два или три. Поэтому можем считать его нулем (|A ∩ B ∩ C| = 0).
|A ∩ B ∩ D| – сколько чисел одновременно делится на два, три и шесть? Как и в предыдущем случае, информации об этом нет и мы считаем его нулем (|A ∩ B ∩ D| = 0).
..
..
..
|C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на пяти, шести, десяти, пятнадцати и тридцати? Также у нас нет информации и можем считать его нулем (|C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G| = 0).
Наконец, рассмотрим пересечение всех семи множеств:
|A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G| – сколько чисел одновременно делится на два, три, пять, шесть, десять, пятнадцать и тридцать? Также у нас нет информации и можем считать его нулем (|A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G| = 0).
Теперь, все, что нам осталось - это сложить и вычесть все найденные значения:
|A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G| = |A| + |B| + |C| + |D| + |E| + |F| + |G| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |A ∩ E| - |A ∩ F| - |A ∩ G| - |B ∩ C| - |B ∩ D| - |B ∩ E| - |B ∩ F| - |B ∩ G| - |C ∩ D| - |C ∩ E| - |C ∩ F| - |C ∩ G| ... + |A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ∩ G|.
Подставим значения, которые мы получили ранее:
|A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G| = 100 + 115 + 120 + 45 + 38 + 50 + 20 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0.
Теперь можем просто сложить, используя калькулятор или ручной подсчет:
|A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E ∪ F ∪ G| = 488.
Таким образом, в множестве p содержится 488 чисел.