В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
Fagga322
Fagga322
07.08.2020 22:36 •  Математика

Сколько острых углов φ удовлетворяет соотношению sin(φ)+sin(2φ)+sin(3φ)+…+sin(27φ)=0 ?

Показать ответ
Ответ:
ник5044
ник5044
05.10.2020 01:52

Памятуя, что

\sin n\varphi = \text{Im}(e^{in\varphi})

Перепишем уравнение следующим образом

\text{Im}(e^{i\varphi}+e^{2i\varphi}+...+e^{27i\varphi}) = 0

Теперь увидим в скобках обычную геометрическую прогрессию

\text{Im}\left(\frac{e^{i\varphi}(1-e^{27i\varphi})}{1-e^{i\varphi}}\right)=0

Домножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число (мы можем это сделать, так как фи от 0 до пи пополам строго). В знаменателе будет чисто действительное число, поэтому уравнение можно будет упростить до

\text{Im}[(1-e^{-i\varphi})e^{i\varphi}(1-e^{27i\varphi})]=0\\ \text{Im}[(1-e^{i\varphi})(1-e^{27i\varphi})] = 0

Обсудим более подробно функцию действительного параметра

f(\alpha) = 1-\exp(i\alpha)

Множество ее значений на комплексной плоскости - это окружность единичного радиуса, смещенная на 1 по оси действительных значений. Поэтому действительность произведения (см последнее уравнение)

\text{Im}[f(\varphi)f(27\varphi)] = 0

Означает две вещи, либо сумма комплексных аргументов сомножителей равна πk, либо второй сомножитель равен 0 (напомним что для острых φ первый множитель не зануляется)

Рассмотрим первую ветвь поподробнее, воспользовавшись тем, что

\tan\arg f(\alpha) = -\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = -\tan(\alpha/2)\\\\
\arg f(\varphi)+\arg f (27\varphi) = \pi k\\
\tan(\arg f(\varphi)+\arg f (27\varphi)) = 0\\
\tan(\varphi/2)+\tan(27\varphi/2) = 0\\
\varphi/2 = -27\varphi/2+\pi k\\
\varphi = \pi k/14

Первая ветвь дает решения в нашей области
π/14; 2π/14; 3π/14 ... 6π/14 (6 корней)

Вторая ветвь f(27φ) = 0 имеет элементарное решение
27\varphi = 2\pi k\\
\varphi = \frac{2}{27}\pi k

И это дает нам корни
2π/27; 4π/27; 6π/27...12π/27 (еще 6 корней, не совпадающих с первыми)

! Итого ответ 12 корней. !

В справедливости ответа можно убедиться, построив график в любом графопостроителе. Интересный факт, корни первого семейства расположены достаточно близко к корням второго семейства (по сравнению с характерным расстоянием между парами корней)

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота