Сколько разных экзаменационных билетов можно сформировать, если билет состоит из двух теоретических и двух практических задач, при этом всего 40 теоретических и 20 практических заданий
Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) множества чисел — число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество. Является одной из наиболее распространённых мер центральной тенденции. Введение Править
Обозначим множество чисел X = (x1, x2, …, xn), тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной ( x ¯ {\bar {x}}, произносится «x с чертой»).
Для обозначения среднего арифметического всей совокупности чисел обычно используется греческая буква μ. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки xi из этой совокупности μ = E{xi} есть математическое ожидание этой выборки.
На практике разница между μ и x ¯ {\bar {x}} в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда x ¯ {\bar {x}} (но не μ) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).
Обе эти величины вычисляются одним и тем же
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n ( x 1 + ⋯ + x n ) . {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n}). Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.
В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.
Заметим, что имеется несколько других «средних» значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова, гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины (например, среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное).
Примеры Править Для получения среднего арифметического трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3: x 1 + x 2 + x 3 3 . {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}. Для получения среднего арифметического четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}. Непрерывная случайная величина Править Если существует интеграл от некоторой функции f ( x ) f(x) одной переменной, то среднее арифметическое этой функции на отрезке [ a ; b ] [a;b] определяется через определённый интеграл:
f ( x ) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle {\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.} Здесь подразумевается, что b > a . {\displaystyle b>a.}
Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) ещё пифагорейцами[1].
Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).
При стремлении количества элементов множества чисел стационарного случайного процесса к бесконечности среднее арифметическое стремится к математическому ожиданию случайной величины. Направления Править Основная статья: Статистика направлений При расчёте среднего арифметического значений некоторой переменной, изменяющейся циклически (например, фаза или угол), следует проявлять особую осторожность. Например, среднее чисел 1° и 359° будет равно 1 ∘ + 359 ∘ 2 = {\frac {1^{\circ }+359^{\circ }}{2}}=180°. Это число неверно по двум причинам.
Во-первых, угловые меры определены только для диапазона от 0° до 360° (или от 0 до 2π при измерении в радианах). Таким образом, ту же пару чисел можно было бы записать как (1° и −1°) или как (1° и 719°). Средние значения каждой из пар будут отличаться: 1 ∘ + ( − 1 ∘ ) 2 = 0 ∘ {\frac {1^{\circ }+(-1^{\circ })}{2}}=0^{\circ }, 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ {\frac {1^{\circ }+719^{\circ }}{2}}=360^{\circ }. Во-вторых, в данном случае, значение 0° (эквивалентное 360°) будет геометрически лучшим средним значением, так как числа отклоняются от 0° меньше, чем от какого-либо другого значения (у значения 0° наименьшая дисперсия). Сравните: число 1° отклоняется от 0° всего на 1°; число 1° отклоняется от вычисленного среднего, равного 180°, на 179°. Среднее значение для циклической переменной, рассчитанное .
1). Какую часть пути теплоход за вторые сутки, если из условия задачи известно, что в первые сутки теплоход всего пути, а во вторые сутки – на 1/15 пути больше, чем в первые?
9/20 + 1/15 = 27/60 + 4/60 = 31/60 (пути).
2). Какую часть всего пути теплоход за эти двое суток?
ответ: 29/30 всего пути теплоход за эти двое суток.
б) Так как между числами 5 и 7 расположено только одно число 6, то чтобы найти четыре дроби, каждая из которых больше 5/9 и меньше 7/9, необходимо заменить эти дроби по основному свойству дробей равными, но с большим знаменателем, например, 27. Тогда 5/9 = 15/27 и 7/9 = 21/27. Получаем: 5/9 < 16/27 < 7/9; 5/9 < 17/27 < 7/9; 5/9 < 18/27 < 7/9; 5/9 < 19/27 < 7/9
Обозначим множество чисел X = (x1, x2, …, xn), тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной (
x
¯
{\bar {x}}, произносится «x с чертой»).
Для обозначения среднего арифметического всей совокупности чисел обычно используется греческая буква μ. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки xi из этой совокупности μ = E{xi} есть математическое ожидание этой выборки.
На практике разница между μ и
x
¯
{\bar {x}} в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда
x
¯
{\bar {x}} (но не μ) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).
Обе эти величины вычисляются одним и тем же
x
¯
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
=
1
n
(
x
1
+
⋯
+
x
n
)
.
{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n}).
Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.
В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.
Заметим, что имеется несколько других «средних» значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова, гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины (например, среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное).
Примеры Править
Для получения среднего арифметического трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:
x
1
+
x
2
+
x
3
3
.
{\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.
Для получения среднего арифметического четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
4
.
{\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.
Непрерывная случайная величина Править
Если существует интеграл от некоторой функции
f
(
x
)
f(x) одной переменной, то среднее арифметическое этой функции на отрезке
[
a
;
b
]
[a;b] определяется через определённый интеграл:
f
(
x
)
¯
[
a
;
b
]
=
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.}
Здесь подразумевается, что
b
>
a
.
{\displaystyle b>a.}
Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) ещё пифагорейцами[1].
Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).
При стремлении количества элементов множества чисел стационарного случайного процесса к бесконечности среднее арифметическое стремится к математическому ожиданию случайной величины. Направления Править
Основная статья: Статистика направлений
При расчёте среднего арифметического значений некоторой переменной, изменяющейся циклически (например, фаза или угол), следует проявлять особую осторожность. Например, среднее чисел 1° и 359° будет равно
1
∘
+
359
∘
2
=
{\frac {1^{\circ }+359^{\circ }}{2}}=180°. Это число неверно по двум причинам.
Во-первых, угловые меры определены только для диапазона от 0° до 360° (или от 0 до 2π при измерении в радианах). Таким образом, ту же пару чисел можно было бы записать как (1° и −1°) или как (1° и 719°). Средние значения каждой из пар будут отличаться:
1
∘
+
(
−
1
∘
)
2
=
0
∘
{\frac {1^{\circ }+(-1^{\circ })}{2}}=0^{\circ },
1
∘
+
719
∘
2
=
360
∘
{\frac {1^{\circ }+719^{\circ }}{2}}=360^{\circ }.
Во-вторых, в данном случае, значение 0° (эквивалентное 360°) будет геометрически лучшим средним значением, так как числа отклоняются от 0° меньше, чем от какого-либо другого значения (у значения 0° наименьшая дисперсия). Сравните:
число 1° отклоняется от 0° всего на 1°;
число 1° отклоняется от вычисленного среднего, равного 180°, на 179°.
Среднее значение для циклической переменной, рассчитанное .
Пошаговое объяснение:
а)
1). Какую часть пути теплоход за вторые сутки, если из условия задачи известно, что в первые сутки теплоход всего пути, а во вторые сутки – на 1/15 пути больше, чем в первые?
9/20 + 1/15 = 27/60 + 4/60 = 31/60 (пути).
2). Какую часть всего пути теплоход за эти двое суток?
9/20 + 31/60 = 27/60 + 31/60 = 58/60 = 29/30 (пути).
ответ: 29/30 всего пути теплоход за эти двое суток.
б) Так как между числами 5 и 7 расположено только одно число 6, то чтобы найти четыре дроби, каждая из которых больше 5/9 и меньше 7/9, необходимо заменить эти дроби по основному свойству дробей равными, но с большим знаменателем, например, 27. Тогда 5/9 = 15/27 и 7/9 = 21/27. Получаем: 5/9 < 16/27 < 7/9; 5/9 < 17/27 < 7/9; 5/9 < 18/27 < 7/9; 5/9 < 19/27 < 7/9