Для каждого натурального N существует единственная степень двойки 2k, для которой N ≤ 2k < 2N. Подставляя в это утверждение вместо N числа 10n–1, 2·10n–1 и 5·10n–1, получаем, что для любого n: существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 1; существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 2 или 3; существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с одной из цифр 5, 6, 7, 8 или 9. Из этого следует, что ровно 100 выписанных в условии чисел начинаются с единицы (по одному для каждого количества разрядов от 2 до 101), ровно 100 – с двойки или тройки, ровно 100 – с цифры, большей четверки, (по одному для каждого количества разрядов от 1 до 100). Значит, остается 33 числа начинающихся с четверки.
существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 1;
существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 2 или 3;
существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с одной из цифр 5, 6, 7, 8 или 9.
Из этого следует, что ровно 100 выписанных в условии чисел начинаются с единицы (по одному для каждого количества разрядов от 2 до 101), ровно 100 – с двойки или тройки, ровно 100 – с цифры, большей четверки, (по одному для каждого количества разрядов от 1 до 100). Значит, остается 33 числа начинающихся с четверки.