сколько существует перестановок чисел 1 2 3 4 5 6 из которых можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся были упорядочены по возрастанию или по убыванию
Для решения данной задачи, мы можем использовать принципы комбинаторики.
Первым шагом мы рассмотрим случай, когда мы удаляем число из последовательности 1 2 3 4 5 6 и оставшиеся числа должны быть упорядочены по возрастанию. Затем рассмотрим случай, когда оставшиеся числа должны быть упорядочены по убыванию.
1) Упорядоченные по возрастанию числа:
Для того чтобы найти количество перестановок, мы рассмотрим, сколько возможных мест может занимать удаляемое число.
Перестановку чисел 1 2 3 4 5 6 мы можем представить в виде строки: 123456.
Если мы удалим число 1, то оставшиеся числа должны быть упорядочены по возрастанию. То есть, оставшиеся числа могут занимать следующие позиции в строке:
_23456 (1 может занимать любое из 6 возможных мест).
Если мы удалим число 2, то оставшиеся числа должны быть упорядочены по возрастанию. То есть, оставшиеся числа могут занимать следующие позиции в строке:
1_3456 (2 может занимать 5 возможных мест, так как оно не может стоять перед 1).
Продолжая этот анализ, мы получим следующую таблицу:
| Место для удаления числа | Количество возможных мест, где могло быть удалено число |
|-------------------------|--------------------------------------------------------|
| 1 | 6 |
| 2 | 5 |
| 3 | 4 |
| 4 | 3 |
| 5 | 2 |
| 6 | 1 |
Таким образом, общее количество перестановок, где можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся числа были упорядочены по возрастанию, равно сумме всех возможных вариантов удаления чисел: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.
2) Упорядоченные по убыванию числа:
Также рассмотрим случай, когда оставшиеся числа должны быть упорядочены по убыванию. Здесь принцип анализа будет аналогичным, только мы будем рассматривать возможные места для удаления чисел, начиная с конца строки.
Таблица изменится следующим образом:
| Место для удаления числа | Количество возможных мест, где могло быть удалено число |
|-------------------------|--------------------------------------------------------|
| 6 | 6 |
| 5 | 5 |
| 4 | 4 |
| 3 | 3 |
| 2 | 2 |
| 1 | 1 |
Общее количество перестановок, где можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся числа были упорядочены по убыванию, равно сумме всех возможных вариантов удаления чисел: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.
Таким образом, общее количество перестановок, где можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся числа были упорядочены по возрастанию или по убыванию, равно сумме количества перестановок для возрастания и для убывания: 21 + 21 = 42.
Итак, ответ на задачу: количество перестановок чисел 1 2 3 4 5 6, из которых можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся были упорядочены по возрастанию или по убыванию, равно 42.
Первым шагом мы рассмотрим случай, когда мы удаляем число из последовательности 1 2 3 4 5 6 и оставшиеся числа должны быть упорядочены по возрастанию. Затем рассмотрим случай, когда оставшиеся числа должны быть упорядочены по убыванию.
1) Упорядоченные по возрастанию числа:
Для того чтобы найти количество перестановок, мы рассмотрим, сколько возможных мест может занимать удаляемое число.
Перестановку чисел 1 2 3 4 5 6 мы можем представить в виде строки: 123456.
Если мы удалим число 1, то оставшиеся числа должны быть упорядочены по возрастанию. То есть, оставшиеся числа могут занимать следующие позиции в строке:
_23456 (1 может занимать любое из 6 возможных мест).
Если мы удалим число 2, то оставшиеся числа должны быть упорядочены по возрастанию. То есть, оставшиеся числа могут занимать следующие позиции в строке:
1_3456 (2 может занимать 5 возможных мест, так как оно не может стоять перед 1).
Продолжая этот анализ, мы получим следующую таблицу:
| Место для удаления числа | Количество возможных мест, где могло быть удалено число |
|-------------------------|--------------------------------------------------------|
| 1 | 6 |
| 2 | 5 |
| 3 | 4 |
| 4 | 3 |
| 5 | 2 |
| 6 | 1 |
Таким образом, общее количество перестановок, где можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся числа были упорядочены по возрастанию, равно сумме всех возможных вариантов удаления чисел: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.
2) Упорядоченные по убыванию числа:
Также рассмотрим случай, когда оставшиеся числа должны быть упорядочены по убыванию. Здесь принцип анализа будет аналогичным, только мы будем рассматривать возможные места для удаления чисел, начиная с конца строки.
Таблица изменится следующим образом:
| Место для удаления числа | Количество возможных мест, где могло быть удалено число |
|-------------------------|--------------------------------------------------------|
| 6 | 6 |
| 5 | 5 |
| 4 | 4 |
| 3 | 3 |
| 2 | 2 |
| 1 | 1 |
Общее количество перестановок, где можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся числа были упорядочены по убыванию, равно сумме всех возможных вариантов удаления чисел: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.
Таким образом, общее количество перестановок, где можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся числа были упорядочены по возрастанию или по убыванию, равно сумме количества перестановок для возрастания и для убывания: 21 + 21 = 42.
Итак, ответ на задачу: количество перестановок чисел 1 2 3 4 5 6, из которых можно удалить одно число так, чтобы оставшиеся были упорядочены по возрастанию или по убыванию, равно 42.