Сколько существует различных наборов {a,b,c,d} из четырёх натуральных чисел таких, что a> b> c> d, a+b+c+d=20, a2−b2+c2−d2=20? все указанные условия должны выполняться одновременно.
Заметим, что a ≥ 7 (в противном случае сумма a + b + c + d была бы не больше, чем 6 + 5 + 4 + 3 = 18). Кроме того, поскольку c + d ≥ 1 + 2 = 3, то a + b ≤ 20 - 3 = 17.
Предположим, a - b ≥ 2. Тогда Получилось неверное неравенство 20 > 24, поэтому предположение неверно, тогда a = b + 1, b ≥ 6. Значит, a + b = 2b + 1 ≤ 17, откуда b ≤ 8.
1) b = 6, a = 7. Подставляем в равенства: c + d = 7 c^2 - d^2 = 7
Раскладываем левую часть второго уравнения на множители и подставляем значение суммы: c + d = 7 (c - d)(c + d) = 7(c - d) = 7
c + d = 7 c - d = 1
Складываем и вычитаем уравнения: 2с = 8 2d = 6
c = 4 d = 3
(a, b, c, d) = (7, 6, 4, 3)
2) b = 7, a = 8. Аналогично: c + d = 5 c^2 - d^2 = 5
Предположим, a - b ≥ 2. Тогда
Получилось неверное неравенство 20 > 24, поэтому предположение неверно, тогда a = b + 1, b ≥ 6. Значит, a + b = 2b + 1 ≤ 17, откуда b ≤ 8.
1) b = 6, a = 7. Подставляем в равенства:
c + d = 7
c^2 - d^2 = 7
Раскладываем левую часть второго уравнения на множители и подставляем значение суммы:
c + d = 7
(c - d)(c + d) = 7(c - d) = 7
c + d = 7
c - d = 1
Складываем и вычитаем уравнения:
2с = 8
2d = 6
c = 4
d = 3
(a, b, c, d) = (7, 6, 4, 3)
2) b = 7, a = 8. Аналогично:
c + d = 5
c^2 - d^2 = 5
c + d = 5
c - d = 1
(a, b, c, d) = (8, 7, 3, 2)
3) b = 8, a = 9
c + d = 3
c^2 - d^2 = 3
c + d = 3
c - d = 1
(a, b, c, d) = (9, 8, 2, 1)
ответ: 3 набора.