Сколько существует различных семизначных чисел. кратных 11, десятичная запись которых содержит только цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, причём все цифры в десятичной записи различны?

Общая сумма цифр 1+2+...+7 = 28. Число кратно 11, когда модуль разности между суммой цифр, стоящих на  нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11. Поскольку 28 < 33, модуль разности может быть равным только 22 или 11. Т. к. 22 = 25-3 и 25+3=28, а 11 = 19-8 и 19+8=27<28, также 11 = 20-9 и 20+9 = 29>28, то модуль разности равен только 22.  Действительно, |(7+6+5+4+3)-(2+1)| = 22. Т. е. для четных мест у нас имеются 2 цифры - 2 и 1, тогда как в семизначном числе будут три четные позиции. Т. о. таких чисел не существует.