Собеседование при приеме на работу в крупную международную
компанию состоит из четырех последовательных этапов: (i) проверка
владения иностранным языком, (ii) уровень владения компьютером, (iii)
профессиональный уровень, (iv) беседа с одним из руководителей. если
соискатель какой-то этап не то к следующему он не допускается.
студенты одного престижного вуза, как показала практика,
проходят успешно каждый этап с вероятностями 0,8, 0,7, 0,6 и 0,3
соответственно.
составить закон распределения случайной величины – числа этапов,
которые студент данного престижного вуза пройдет успешно.
найти ее ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, построить функцию распределения.
Дано:
- Собеседование состоит из четырех этапов
- Вероятности успешного прохождения каждого этапа:
- Прохождение проверки владения иностранным языком: 0.8
- Прохождение уровня владения компьютером: 0.7
- Прохождение профессионального уровня: 0.6
- Прохождение беседы с руководителем: 0.3
Вопрос:
Найдите закон распределения случайной величины – числа этапов, которые студент данного престижного вуза пройдет успешно. Найдите ее ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, постройте функцию распределения.
Решение:
Обозначим X - количество этапов, которые студент пройдет успешно. Чтобы найти закон распределения X, нужно рассмотреть все возможные варианты их сочетания.
1. Студент провалит все этапы:
Вероятность этого события = (1 - 0.8) * (1 - 0.7) * (1 - 0.6) * (1 - 0.3) = 0.2 * 0.3 * 0.4 * 0.7 = 0.0168
Значит, P(X = 0) = 0.0168.
2. Студент пройдет только первый этап успешно:
Вероятность этого события = (0.8) * (1 - 0.7) * (1 - 0.6) * (1 - 0.3) = 0.8 * 0.3 * 0.4 * 0.7 = 0.0672
Значит, P(X = 1) = 0.0672.
3. Студент пройдет первые два этапа успешно, но провалит третий и четвертый:
Вероятность этого события = (0.8) * (0.7) * (1 - 0.6) * (1 - 0.3) = 0.8 * 0.7 * 0.4 * 0.7 = 0.1568
Значит, P(X = 2) = 0.1568.
4. Студент пройдет первые три этапа успешно, но провалит четвертый:
Вероятность этого события = (0.8) * (0.7) * (0.6) * (1 - 0.3) = 0.8 * 0.7 * 0.6 * 0.7 = 0.2352
Значит, P(X = 3) = 0.2352.
5. Студент пройдет все четыре этапа успешно:
Вероятность этого события = (0.8) * (0.7) * (0.6) * (0.3) = 0.8 * 0.7 * 0.6 * 0.3 = 0.1008
Значит, P(X = 4) = 0.1008.
Теперь, чтобы найти ожидание (математическое ожидание) случайной величины X, нужно умножить каждое значение X на его вероятность и сложить результаты:
E(X) = 0 * 0.0168 + 1 * 0.0672 + 2 * 0.1568 + 3 * 0.2352 + 4 * 0.1008 = 0.0672 + 0.3136 + 0.7056 + 0.4032 = 1.4896
Таким образом, ожидание случайной величины X равно 1.4896.
Для нахождения дисперсии случайной величины X нужно вычислить квадрат отклонения каждого значения X от ожидания, умножить результат на его вероятность, сложить результаты и вычесть квадрат ожидания:
D(X) = (0^2 * 0.0168 + 1^2 * 0.0672 + 2^2 * 0.1568 + 3^2 * 0.2352 + 4^2 * 0.1008) - (1.4896)^2
= (0 + 0.0672 + 0.6272 + 2.1192 + 4.032) - 2.21912416
= 6.8456 - 2.21912416
= 4.62647584
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна 4.62647584.
Чтобы найти среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) случайной величины X, нужно извлечь квадратный корень из дисперсии:
σ(X) = √(D(X)) = √(4.62647584) = 2.150
Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно 2.150.
И, наконец, построим функцию распределения случайной величины X.
F(x) = P(X ≤ x)
= P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = x)
Таблица значений функции распределения:
x | P(X ≤ x)
----------------
0 | 0.0168
1 | 0.0168 + 0.0672 = 0.084
2 | 0.084 + 0.1568 = 0.2408
3 | 0.2408 + 0.2352 = 0.476
4 | 0.476 + 0.1008 = 0.5768
Итак, функция распределения случайной величины X будет выглядеть следующим образом:
F(x) = 0 при x < 0
0.0168 при 0 ≤ x < 1
0.084 при 1 ≤ x < 2
0.2408 при 2 ≤ x < 3
0.476 при 3 ≤ x < 4
0.5768 при x ≥ 4
Это ответ на задачу. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!