Сакские племена населяли территорию Казахстана и Средней Азии в 1 тысячелетии до нашей эры. Племена саков-тиграхауда расселялись на территории Семиречья и в горах Тянь-Шаня. Местом их наибольшего скопления являлась территория Жетысу. Саки-парадарайя расселялись на территории Приаралья и в низовьях Сырдарьи, южнее них расселялись саки-хаомаварга. Сакские племена, получившие название даи, исседоны населяли земли северо-восточнее Арала. Общественное устройство саков находилось на уровне распада первобытного строя и формирования военной демократии.Сакское общество состояло в основном из трех групп: воины, жрецы, общинники (скотоводы и земледельцы). В сакском обществе в решении вопросов племени и межродовых отношениях, была велика роль народного собрания. Основным хозяйственным занятием саков было скотоводство. Часть саков занималась земледелием. Уникальные предметы культуры саков, найденные археологами, относятся к бронзовому веку. Из бронзы саки выполняли различные предметы. Для саков характерен, так называемый «звериный стиль», встречаются изображения пантеры, тигра с открытой пастью, фигурки джейрана и петуха. Все выполнено из золота. «Золотой человек» найден в знаменитом сакском памятнике – Иссыкском кургане. Одежда «Золотого человека» украшена золотыми изделиями. Сакам была известна и письменность, В Иссыкском кургане была найдена серебряная чаша с нанесенной на нее надписью.
По условию (a + b)/2, sqrt(ab) и 2ab/(a + b) — натуральные числа.
Пусть у a и b наибольший общий делитель d, a = Ad, b = Bd, A и B взаимно просты.
Среднее геометрическое равно d * sqrt(AB). Чтобы оно было натуральным числом, A и B должны быть полными квадратами.
Среднее гармоническое равно 2d * AB/(A + B). Чтобы оно было натуральным числом, 2d должно делиться на A + B, поскольку у A + B нет общих делителей ни с A, ни с B. В случае, когда A = 1^2, B = 2^2, A + B = 5, d >= 5. Во всех остальных случаях 2d >= A + B >= 1^2 + 3^2 = 10, опять-таки d >= 5.
Если d = 5, то числа равны 5A и 5B. Чтобы среднее арифметическое 5(A + B)/2 было натуральным числом, A и B должны быть одинаковой чётности, поэтому b >= 5 * 3^2 = 45. Проверкой убеждаемся, что a = 5, b = 45 — подходит под условие.
Попробуем найти меньшие b при d > 5. Если dB < 45, d >= 6 и B — полный квадрат, то B < 45/6, B <= 7. Учитывая, что B не может быть равно 1^2, получаем, что B = 2^2 = 4, A = 1^2 = 1. 2d должно делиться на A + B = 5, d > 5. Если d = 10, получаем решение a = 10, b = 40. Если d >= 15, то b >= 60 > 45, уже не интересует.
Пусть у a и b наибольший общий делитель d, a = Ad, b = Bd, A и B взаимно просты.
Среднее геометрическое равно d * sqrt(AB). Чтобы оно было натуральным числом, A и B должны быть полными квадратами.
Среднее гармоническое равно 2d * AB/(A + B). Чтобы оно было натуральным числом, 2d должно делиться на A + B, поскольку у A + B нет общих делителей ни с A, ни с B.
В случае, когда A = 1^2, B = 2^2, A + B = 5, d >= 5. Во всех остальных случаях 2d >= A + B >= 1^2 + 3^2 = 10, опять-таки d >= 5.
Если d = 5, то числа равны 5A и 5B. Чтобы среднее арифметическое 5(A + B)/2 было натуральным числом, A и B должны быть одинаковой чётности, поэтому b >= 5 * 3^2 = 45. Проверкой убеждаемся, что a = 5, b = 45 — подходит под условие.
Попробуем найти меньшие b при d > 5. Если dB < 45, d >= 6 и B — полный квадрат, то B < 45/6, B <= 7.
Учитывая, что B не может быть равно 1^2, получаем, что B = 2^2 = 4, A = 1^2 = 1.
2d должно делиться на A + B = 5, d > 5.
Если d = 10, получаем решение a = 10, b = 40.
Если d >= 15, то b >= 60 > 45, уже не интересует.
ответ. 40.