Для составления уравнения конуса с вершиной в точке S(1,2,4), образующие которого составляют с плоскостью 2x+2y+z=0 углы 45°, мы можем использовать следующий подход:
Шаг 1: Определение направляющего вектора конуса
Найдем направляющий вектор конуса, который будет перпендикулярен плоскости. Для этого нам нужно найти нормальный вектор к плоскости 2x+2y+z=0.
Уравнение плоскости в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0
В данном случае, A = 2, B = 2, C = 1. Заметим, что коэффициенты A, B, C являются координатами нормального вектора плоскости.
Таким образом, нормальный вектор плоскости равен (-2, -2, 1).
Шаг 2: Определение направляющего вектора конуса
Так как образующие конуса составляют с плоскостью 2x+2y+z=0 углы 45°, мы можем использовать следующее свойство: косинус угла между двумя векторами равен произведению их нормированных (единичных) векторов.
Для определения направляющего вектора конуса, умножим вектор нормали к плоскости на косинус 45°:
Направляющий вектор конуса будет равен этому единичному вектору нормали.
Шаг 3: Построение уравнения конуса
Уравнение конуса в общем виде имеет следующий вид: (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = k^2
Где (a, b, c) - координаты вершины конуса (в данном случае (1,2,4)), а k - длина образующей конуса.
Однако, нам известен только направляющий вектор, а не длина образующей. Поэтому, мы примем длину образующей равной 1.
Теперь мы можем записать уравнение конуса:
(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-4)^2 = 1
Это и есть уравнение конуса с заданными условиями.
Обратите внимание, что это только одно из возможных уравнений конуса с указанными условиями. Все конусы, у которых образующие составляют с плоскостью 2x+2y+z=0 углы 45° и вершина которых находится в точке (1,2,4), будут удовлетворять данному уравнению, но могут иметь различные ориентации и размеры.
Шаг 1: Определение направляющего вектора конуса
Найдем направляющий вектор конуса, который будет перпендикулярен плоскости. Для этого нам нужно найти нормальный вектор к плоскости 2x+2y+z=0.
Уравнение плоскости в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0
В данном случае, A = 2, B = 2, C = 1. Заметим, что коэффициенты A, B, C являются координатами нормального вектора плоскости.
Таким образом, нормальный вектор плоскости равен (-2, -2, 1).
Шаг 2: Определение направляющего вектора конуса
Так как образующие конуса составляют с плоскостью 2x+2y+z=0 углы 45°, мы можем использовать следующее свойство: косинус угла между двумя векторами равен произведению их нормированных (единичных) векторов.
Для определения направляющего вектора конуса, умножим вектор нормали к плоскости на косинус 45°:
Косинус 45° = cos(45°) = 1/√2
Нормированный (единичный) вектор нормали:
n = (-2, -2, 1) / √(2^2 + 2^2 + 1^2)
= (-2/3, -2/3, 1/3)
Направляющий вектор конуса будет равен этому единичному вектору нормали.
Шаг 3: Построение уравнения конуса
Уравнение конуса в общем виде имеет следующий вид: (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = k^2
Где (a, b, c) - координаты вершины конуса (в данном случае (1,2,4)), а k - длина образующей конуса.
Однако, нам известен только направляющий вектор, а не длина образующей. Поэтому, мы примем длину образующей равной 1.
Теперь мы можем записать уравнение конуса:
(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-4)^2 = 1
Это и есть уравнение конуса с заданными условиями.
Обратите внимание, что это только одно из возможных уравнений конуса с указанными условиями. Все конусы, у которых образующие составляют с плоскостью 2x+2y+z=0 углы 45° и вершина которых находится в точке (1,2,4), будут удовлетворять данному уравнению, но могут иметь различные ориентации и размеры.