Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(7; 7) и В(-2; 4), если её центр лежит на прямой 2x-y-2=0 Указание: для решения составить систему уравнений.
Для решения задачи необходимо использовать свойство окружности - центр окружности лежит на перпендикулярной прямой, проведенной через середину отрезка, соединяющего две заданные точки.
Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты (2.5; 5.5).
Шаг 2: Найдем уравнение прямой, перпендикулярной прямой 2x - y - 2 = 0.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен отрицательному обратному угловому коэффициенту исходной прямой.
Угловой коэффициент исходной прямой равен 2.
Таким образом, угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен -1/2.
Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид:
y - yс = -1/2 (x - хс)
Подставляем координаты середины отрезка AB и получаем:
y - 5.5 = -1/2 (x - 2.5)
Раскрываем скобки:
y - 5.5 = -1/2x + 5/4
Приводим уравнение к общему виду:
1/2x + y = 5.5 + 5/4
1/2x + y = 22/4 + 5/4
1/2x + y = 27/4
Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной 2x - y - 2 = 0, имеет вид 1/2x + y = 27/4.
Шаг 3: Составляем систему уравнений для определения координат центра окружности.
Система уравнений имеет вид:
{1/2x + y = 27/4
{(x - хс)^2 + (y - ус)^2 = R^2
где (хс, ус) - координаты центра окружности, R - радиус окружности.
Уравнение не имеет решений.
Это означает, что по условию не существует окружности, проходящей через точки А(7; 7) и В(-2; 4), центр которой лежит на прямой 2x - y - 2 = 0.
Шаг 1: Найдем середину отрезка AB.
Середина отрезка AB равна среднему арифметическому координат точек A и B:
xс = (xА + xB) / 2 = (7 - 2) / 2 = 5 / 2 = 2.5
yс = (yА + yB) / 2 = (7 + 4) / 2 = 11 / 2 = 5.5
Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты (2.5; 5.5).
Шаг 2: Найдем уравнение прямой, перпендикулярной прямой 2x - y - 2 = 0.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен отрицательному обратному угловому коэффициенту исходной прямой.
Угловой коэффициент исходной прямой равен 2.
Таким образом, угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен -1/2.
Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид:
y - yс = -1/2 (x - хс)
Подставляем координаты середины отрезка AB и получаем:
y - 5.5 = -1/2 (x - 2.5)
Раскрываем скобки:
y - 5.5 = -1/2x + 5/4
Приводим уравнение к общему виду:
1/2x + y = 5.5 + 5/4
1/2x + y = 22/4 + 5/4
1/2x + y = 27/4
Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной 2x - y - 2 = 0, имеет вид 1/2x + y = 27/4.
Шаг 3: Составляем систему уравнений для определения координат центра окружности.
Система уравнений имеет вид:
{1/2x + y = 27/4
{(x - хс)^2 + (y - ус)^2 = R^2
где (хс, ус) - координаты центра окружности, R - радиус окружности.
Шаг 4: Подставляем уравнение прямой в уравнение окружности:
(хс - 7)^2 + (yс - 7)^2 = R^2
(хс + 2)^2 + (уc - 4)^2 = R^2
Шаг 5: Решаем систему уравнений.
Подставляем второе уравнение системы в первое:
(хс + 2)^2 + (ус - 4)^2 = (1/2x + y - 27/4)^2
Раскрываем скобки и приводим подобные члены:
(хс^2 + 4хс + 4) + (уc^2 - 8уc + 16) = (1/2x + y - 27/4)^2
Далее, используем известные значения: хс = 2.5, ус = 5.5:
(2.5^2 + 4 * 2.5 + 4) + (5.5^2 - 8 * 5.5 + 16) = (1/2 * 2.5 + 5.5 - 27/4)^2
Выполняем вычисления:
(6.25 + 10 + 4) + (30.25 - 44 + 16) = (1.25 + 5.5 - 6.75)^2
20.25 + 2.25 = (0)^2
22.5 = 0
Уравнение не имеет решений.
Это означает, что по условию не существует окружности, проходящей через точки А(7; 7) и В(-2; 4), центр которой лежит на прямой 2x - y - 2 = 0.