Составить уравнения касательных к гиперболе: x^2/22-y^2/2=1, перпендикулярных к прямой 3x+2y-3=0

Показать ответ

Ответ:

Koopyosnik

26.08.2020 21:01

Составить уравнения касательных к гиперболе: x²/22 - y²/2 = 1, перпендикулярных к прямой 3x+2y-3=0

Решение: Уравнение касательной к гиперболе x²/a² - y²/b² = 1имеет вид

x*x₁/a² – y*y₁/b² = 1

или

x*x₁/22 –y*y₁/2 =1 ⇔ x*x₁ – 11y*y₁ – 22 = 0

$x*\frac{x_1}{22}- y*\frac{y_1}{2} =1 \ \textless \ =\ \textgreater \ x*x_1-11y*y_1-22=0$

перпендикулярна к прямой

3x + 2y - 3 = 0 имеет вид 2(x - x₂) - 3(y - y₂) = 0

Касательная к гиперболе имеет угловой коэффициент

k₁ = x₁/(11y₁)

Касательная перпендикулярная к прямой имеет угловой коэффициент

k₂= 2/3

Очевидно что эти коэффициенты равны

k₁ = k₂

x₁/(11y₁) = 2/3 ⇔ x₁ = 22y₁/3

кроме того касательная в точке (x₁; y₁) имеет общую точку с гиперболой

(x₁)²/22 – (y₁)²/2 =1

(22y₁)²/(22*9) – (y₁)²/2 = 1

22y₁²/9 – y₁²/2 = 1

y₁²(22/9 - 1/2) = 1

y₁²(44 - 9)/18 = 1 ⇔ y₁² = 18/35

y₁ = 3√(2/35) y₁ = - 3√(2/35)

x₁ = 22√(2/35) x₁ = -22√(2/35)

Получили две точки через которые проходит касательная перпендикулярная прямой (22√(2/35); 3√(2/35)) и (-22√(2/35);-3√(2/35))

Запишем уравнение касательных

x√(2/35) – 1,5√(2/35)y = 1⇔2x – 3y – 2√(35/2) = 0

и -x√(2/35) + 1,5√(2/35)y = 1 ⇔ 2x – 3y + 2√(35/2) = 0

Составить уравнения касательных к гиперболе: x^2/22-y^2/2=1, перпендикулярных к прямой 3x+2y-3=0