Создайте свой лабиринт по представленным ниже темам 1. дорога автомашины,преодолевающей несколько препятствий

Показать ответ

Ответ:

IdaPosion

15.09.2022 18:29

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным условиям.(с подробным решением по порядку
у" + 4y = 0, y(0)=1, y'(0)=2

Решение:
у" + 4y = 0
Так как правой части уравнения отсутствует функция данное дифференциальное уравнение второго порядка однородное с постоянными коэффициентами.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

k² + 4 = 0

k² = -4

Его корни k₁,₂ = 2i.

То есть в данном случае корни комплексные(k₁=α+βi,k₂=α-βi) и для них α = 0,β =2 Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:

y(x) = C₁cos(βx) +C₂sin(βx) = C₁cos(2x) +C₂sin(2x)

Для нахождения функций C₁ и C₂ используем начальные условия:

y(0)=1; y'(0) = 2

y(0) =C₁cos(2*0) + C₂sin(2*0) = C₁ = 1.

Найдем производную функции:

y'(x) = -2C₁sin(2x) + 2C₂cos(2x).

Подставим начальное условие:

y'(0) = -2sin(0) + 2C₁cos(0) = 2С₁ = 2 ⇒С₁ = 1.

Следовательно частное решение дифференциального уравнения:

y(x) = cos(2x) + sin(2x)

Проверка: y'(x) = -2sin(2x) + 2cos(2x)

y''(x) = -4cos(2x) - 4sin(2x)

Подставляем в исходное уравнение

y'' + 4y = -4cos(2x) - 4sin(2x) + 4(cos(2x)+sin(2x)) = 0

ответ: y(x) = cos(2x) + sin(2x)

0,0(0 оценок)

Ответ:

хотам3

15.09.2022 18:29

Найдем начала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

y''+2y'+y=0 (*)

Воспользовавшись заменой Эйлера $y=e^{kx}$ , мы получим характеристическое уравнение

$k^2+2k+1=0\\ (k+1)^2=0\\ k=-1$

Общее решение уравнения (*)

$\overline{y}=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}=e^{-x}(C_1+C_2x)$

Далее нужно найти частное решение. Рассмотрим функцию:

$f(x)=x^2+4=e^{0x}(x^2+4)$

Здесь $\alpha=0;~ P_n(x)=x^2+4~~~\Rightarrow~~~ n=2$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что n=2 частное решение будем искать в виде

y^*=Ax^2+Bx+C

$y'=(Ax^2+Bx+C)'=2Ax+B\\ y''=(2Ax+B)'=2A$

Подставляем все это в исходное дифференциальное уравнение

$2A+2(2Ax+B)+Ax^2+Bx+C=x^2+4\\ 2A+4Ax+2B+Ax^2+Bx+C=x^2+4\\ Ax^2+(4A+B)x+2A+2B+C=x^2+4$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$\begin{cases}&\text{}A=1\\&\text{}4A+B=0\\&\text{}2A+2B+C=4\end{cases}~~~~\Rightarrow~~~\begin{cases}&\text{}A=1\\&\text{}B=-4\\&\text{}C=10\end{cases}$