1. Системи рівнянь, розвязування систем лінійних рівнянь
Поняття системи та її розвязків
Означення: Якщо ставиться завдання знайти всі спільні розвязки двох (або більше) рівнянь з однією або кількома змінними, то кажуть, що треба розвязати систему рівнянь.
Означення: Розвязком системи — таке значення змінної або такий упорядкований набір значень зміниих, що задовольняє одразу всім рівнянням системи, тобто розвязком системи двох або більше рівнянь з невідомими називається така упорядкована множина множина з чисел, при підстановці яких у систему замість невідомих усі рівняння перетворюються на правильні числові рівності.
Означення: Розвязати систему рівнянь — знайти всі її розвязки або довести, що їх немає.
Якщо система не має розвязку, то вона є несумісна.
Приклади систем
— система двох рівнянь з двома змінними
Пара тобто —розвязок системи
— система трьох рівнянь з трьома змінними
Трійка тобто — один із розвязків системи
Схема розвязування систем рівнянь
Графічний метод
Виконуємо рівносильні перетворення, так, щоб було зручно побудувати графік функції. Наприклад:
Будуємо графіки.
Знаходимо точки перетину графіків. Координати цих точок і є розвязком даної системи рівнянь.
Метод підстановки
З одного рівняння системи виражаємо одну змінну через іншу, завжди обираємо зручну змінну. Наприклад, з рівняння виражаємо змінну а не навпаки.
Знайдене значення підставляємо у інше рівняння системи, і одержуємо рівняння з однією змінною.
Розвязуємо одержане рівняння
Знайдене значення підставляємо у виражене рівняння, і знаходимо значення другої змінної.
Метод додавання
Урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом по членного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином.
Додаємо (або віднімаємо) почленно два рівняння системи, тим чином виключається одна змінна.
Розвязуємо одержане рівняння.
Підставляємо знайдене значення змінної у будь-яке з вихідних рівнянь.
Приклади розвязування систем рівнянь
Розвязування графічним методом
Приклад 1
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Будуємо графіки
Побудувавши графіки побачимо, що графіки перетинаються в точці
Відповідь:
Розвязування методом підстановки
Приклад 2
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
З першого рівняння виражаємо А одержаний вираз підставляємо в друге рівняння системи:
Одержане значення підставляємо у вираз
Відповідь:
Розвязування методом додавання
Приклад 3
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Маємо позбутись змінної Множимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге – на 2.
Додаємо почленно рівняння і одержуємо:
Знаходимо значення з першого рівняння системи:
Відповідь:
Зауваження: В методі додавання можна множити не тільки на додатні числа, а і на відємні.
После Пушкина в России был еще один «радостный» поэт – это Афанасий Афанасьевич Фет. В его поэзии нет мотивов гражданской, вольнолюбивой лирики, он не ставил социальных вопросов. Его творчество – мир красоты и счастья. Стихотворения Фета пронизаны мощными потоками энергии счастья и восторга, наполнены восхищением красотой мира и природы. Главным мотивом его лирики была красота. Именно ее он воспевал во всем. В отличие от большинства русских поэтов второй половины XIX века с их протестами и обличениями существующих порядков, Фет считал поэзию «храмом искусства», а себя – жрецом в нем. Позже такой точки зрения придерживались поэты-символисты на рубеже XIX–XX веков. Они считали Фета своим гениальным учителем. Природа, любовь и музыкальное искусство в лирике Фета слиты воедино. Поэт отражает мир чувств, настроений во всем их бесконечном разнообразии. Каждое стихотворение Фета создано как оригинальная мелодия. Композиторы сразу почувствовали это и создали на стихи Фета множество романсов.Таково стихотворение «Фантазия»: Мы одни; из сада в стекла окон Светит месяц… тусклы наши свечи; Твой душистый, твой послушный локон, Развиваясь, падает на плечи. Фет гениально умел изобразить миг, момент чувства, переходы от одного настроения к другому. За это критики-современники называли его стихотворения «бессюжетными». Исследователи XX века уже называли творчество Фета импрессионизмом в русской поэзии за умение автора передавать малейшие оттенки чувств. Лучше всего поэту удавался жанр лирической миниатюры: В этом зеркале под ивой Уловил мой взгляд ревнивый Сердцу милые черты… Мягче взор твой горделивый… Я дрожу, глядя, счастливый, Как в воде дрожишь и ты. Любовная лирика Фета – это океан солнца, счастья и радости. Он боготворит женщину, хочет исполнить любое ее желание, заботлив и нежен по отношению к ней: На заре ты ее не буди, На заре она сладко так спит; Утро дышит у ней на груди, Ярко пышет на ямках ланит. Чувство любви у Фета лишено разрушительной страсти, как у Тютчева. Поэт любуется возлюбленной, наполняющей своим существованием мир красоты и покоя. Лирический герой добр и внимателен, он настоящий защитник от всего злого для любимой. Он основателен, надежен и спокойно счастлив, его любви ничто не угрожает: Рассказать, что с той же страстью, Как вчера, пришел я снова, Что душа все так же счастью И тебе служить готова. Природа у Фета живая и мыслящая: «утро дышит», «лес проснулся», «играла луна» и т. д. Используя прием олицетворения, поэт добивается потрясающего эффекта общения, единения человека с природой: Сад весь в цвету, Вечер в огне, Так освежительно радостно мне! Вот и стою, Вот и иду. Словно таинственной речи я жду. Шедевром лирики Фета является стихотворение «Шепот, робкое дыханье…». Картина пейзажа включает в себя сцену свидания влюбленных. Общение людей и жизнь природы переданы в динамике, хотя в стихотворении нет ни одного глагола. Природа отражает пылкие чувства влюбленных: Шепот, робкое дыханье, Трели соловья, Серебро и колыханье Сонного ручья, Свет ночной, ночные тени, Тени без конца, Ряд волшебных изменений Милого лица, В дымных точках пурпур розы, Отблеск янтаря, И лобзания, и слезы, И заря, заря!.. Следуя своей художественной манере, поэт не показывает развитие отношений молодых людей, а изображает минуты высшего восторга, самые значимые для них. Пейзажные стихотворения Фета обычно полны жизни, звуков и запахов, но иногда ему удается создать величественную картину вечерней природы: Месяц зеркальный плывет по лазурной пустыне, Травы степные унизаны влагой вечерней, Речи отрывистей, сердце опять суеверней, Длинные тени вдали потонули в ложбине. В своей лирике поэт стремился изображать не предметы, а чувства, которые они вызывают. Его новаторство – в умении передать ежесекундную изменчивость мира. Именно поэтому привычные образы превращаются у поэта во что-то новое и необычное, удивляющее читателей. Фет, как никто другой, сумел описать мир прекрасных человеческих чувств, его стихотворения стали классикой русской лирики XIX века.
1. Системи рівнянь, розвязування систем лінійних рівнянь
Поняття системи та її розвязків
Означення: Якщо ставиться завдання знайти всі спільні розвязки двох (або більше) рівнянь з однією або кількома змінними, то кажуть, що треба розвязати систему рівнянь.
Означення: Розвязком системи — таке значення змінної або такий упорядкований набір значень зміниих, що задовольняє одразу всім рівнянням системи, тобто розвязком системи двох або більше рівнянь з невідомими називається така упорядкована множина множина з чисел, при підстановці яких у систему замість невідомих усі рівняння перетворюються на правильні числові рівності.
Означення: Розвязати систему рівнянь — знайти всі її розвязки або довести, що їх немає.
Якщо система не має розвязку, то вона є несумісна.
Приклади систем
— система двох рівнянь з двома змінними
Пара тобто —розвязок системи
— система трьох рівнянь з трьома змінними
Трійка тобто — один із розвязків системи
Схема розвязування систем рівнянь
Графічний метод
Виконуємо рівносильні перетворення, так, щоб було зручно побудувати графік функції. Наприклад:
Будуємо графіки.
Знаходимо точки перетину графіків. Координати цих точок і є розвязком даної системи рівнянь.
Метод підстановки
З одного рівняння системи виражаємо одну змінну через іншу, завжди обираємо зручну змінну. Наприклад, з рівняння виражаємо змінну а не навпаки.
Знайдене значення підставляємо у інше рівняння системи, і одержуємо рівняння з однією змінною.
Розвязуємо одержане рівняння
Знайдене значення підставляємо у виражене рівняння, і знаходимо значення другої змінної.
Метод додавання
Урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом по членного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином.
Додаємо (або віднімаємо) почленно два рівняння системи, тим чином виключається одна змінна.
Розвязуємо одержане рівняння.
Підставляємо знайдене значення змінної у будь-яке з вихідних рівнянь.
Приклади розвязування систем рівнянь
Розвязування графічним методом
Приклад 1
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Будуємо графіки
Побудувавши графіки побачимо, що графіки перетинаються в точці
Відповідь:
Розвязування методом підстановки
Приклад 2
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
З першого рівняння виражаємо А одержаний вираз підставляємо в друге рівняння системи:
Одержане значення підставляємо у вираз
Відповідь:
Розвязування методом додавання
Приклад 3
Розвяжіть рівняння:
Розвязання:
Маємо позбутись змінної Множимо почленно перше рівняння системи на 3, а друге – на 2.
Додаємо почленно рівняння і одержуємо:
Знаходимо значення з першого рівняння системи:
Відповідь:
Зауваження: В методі додавання можна множити не тільки на додатні числа, а і на відємні.
Мы одни; из сада в стекла окон Светит месяц… тусклы наши свечи; Твой душистый, твой послушный локон, Развиваясь, падает на плечи. Фет гениально умел изобразить миг, момент чувства, переходы от одного настроения к другому. За это критики-современники называли его стихотворения «бессюжетными». Исследователи XX века уже называли творчество Фета импрессионизмом в русской поэзии за умение автора передавать малейшие оттенки чувств. Лучше всего поэту удавался жанр лирической миниатюры:
В этом зеркале под ивой Уловил мой взгляд ревнивый Сердцу милые черты… Мягче взор твой горделивый… Я дрожу, глядя, счастливый, Как в воде дрожишь и ты. Любовная лирика Фета – это океан солнца, счастья и радости. Он боготворит женщину, хочет исполнить любое ее желание, заботлив и нежен по отношению к ней:
На заре ты ее не буди, На заре она сладко так спит; Утро дышит у ней на груди, Ярко пышет на ямках ланит. Чувство любви у Фета лишено разрушительной страсти, как у Тютчева. Поэт любуется возлюбленной, наполняющей своим существованием мир красоты и покоя. Лирический герой добр и внимателен, он настоящий защитник от всего злого для любимой. Он основателен, надежен и спокойно счастлив, его любви ничто не угрожает:
Рассказать, что с той же страстью, Как вчера, пришел я снова, Что душа все так же счастью И тебе служить готова. Природа у Фета живая и мыслящая: «утро дышит», «лес проснулся», «играла луна» и т. д. Используя прием олицетворения, поэт добивается потрясающего эффекта общения, единения человека с природой:
Сад весь в цвету, Вечер в огне, Так освежительно радостно мне! Вот и стою, Вот и иду. Словно таинственной речи я жду. Шедевром лирики Фета является стихотворение «Шепот, робкое дыханье…». Картина пейзажа включает в себя сцену свидания влюбленных. Общение людей и жизнь природы переданы в динамике, хотя в стихотворении нет ни одного глагола. Природа отражает пылкие чувства влюбленных:
Шепот, робкое дыханье, Трели соловья, Серебро и колыханье Сонного ручья, Свет ночной, ночные тени, Тени без конца, Ряд волшебных изменений Милого лица, В дымных точках пурпур розы, Отблеск янтаря, И лобзания, и слезы, И заря, заря!.. Следуя своей художественной манере, поэт не показывает развитие отношений молодых людей, а изображает минуты высшего восторга, самые значимые для них. Пейзажные стихотворения Фета обычно полны жизни, звуков и запахов, но иногда ему удается создать величественную картину вечерней природы:
Месяц зеркальный плывет по лазурной пустыне, Травы степные унизаны влагой вечерней, Речи отрывистей, сердце опять суеверней, Длинные тени вдали потонули в ложбине. В своей лирике поэт стремился изображать не предметы, а чувства, которые они вызывают. Его новаторство – в умении передать ежесекундную изменчивость мира. Именно поэтому привычные образы превращаются у поэта во что-то новое и необычное, удивляющее читателей. Фет, как никто другой, сумел описать мир прекрасных человеческих чувств, его стихотворения стали классикой русской лирики XIX века.